Номер 254, страница 32 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 254, страница 32.

Условие.

254. В сообщающиеся сосуды с водой площадью сечения $1,5 \text{ см}^2$ долили: в левый – $30 \text{ см}^3$ масла, в правый – $22,5 \text{ см}^3$ керосина. Определите разность уровней воды в трубках.

Решение.

Дано:

Площадь сечения сосудов: $S = 1,5 \text{ см}^2$

Объем масла: $V_м = 30 \text{ см}^3$

Объем керосина: $V_к = 22,5 \text{ см}^3$

Плотность воды: $\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3 = 1 \text{ г/см}^3$

Плотность масла: $\rho_м \approx 900 \text{ кг/м}^3 = 0,9 \text{ г/см}^3$

Плотность керосина: $\rho_к \approx 800 \text{ кг/м}^3 = 0,8 \text{ г/см}^3$

Перевод в систему СИ:

$S = 1,5 \text{ см}^2 = 1,5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$V_м = 30 \text{ см}^3 = 3 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

$V_к = 22,5 \text{ см}^3 = 2,25 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Найти:

$\Delta h$ - разность уровней воды в трубках.

Решение:

После добавления масла и керосина в сообщающиеся сосуды с водой жидкости установятся в равновесии. Давление на любом горизонтальном уровне в однородной покоящейся жидкости одинаково.

Сначала определим высоты столбов масла ($h_м$) и керосина ($h_к$), используя формулу $V = S \cdot h$, откуда $h = V/S$:

$h_м = \frac{V_м}{S} = \frac{30 \text{ см}^3}{1,5 \text{ см}^2} = 20 \text{ см}$

$h_к = \frac{V_к}{S} = \frac{22,5 \text{ см}^3}{1,5 \text{ см}^2} = 15 \text{ см}$

Давление, которое столб масла оказывает на воду, равно $p_м = \rho_м g h_м$. Давление, которое столб керосина оказывает на воду, равно $p_к = \rho_к g h_к$. Сравним эти давления, чтобы понять, в каком колене уровень воды будет ниже.

$p_м = 0,9 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot g \cdot 20 \text{ см} = 18 \cdot g \frac{\text{г}}{\text{см}^2}$

$p_к = 0,8 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot g \cdot 15 \text{ см} = 12 \cdot g \frac{\text{г}}{\text{см}^2}$

Поскольку $p_м > p_к$, столб масла оказывает большее давление, поэтому уровень воды в левом сосуде (с маслом) опустится ниже, чем в правом (с керосином). Обозначим разность уровней воды в трубках как $\Delta h$.

Выберем уровень отсчета на границе раздела масла и воды (это будет нижний уровень воды). Давление на этом уровне в левом сосуде создается столбом масла и атмосферным давлением:

$p_{левый} = p_{атм} + \rho_м g h_м$

Давление на этом же горизонтальном уровне в правом сосуде создается столбом керосина, столбом воды высотой $\Delta h$ и атмосферным давлением:

$p_{правый} = p_{атм} + \rho_к g h_к + \rho_в g \Delta h$

В состоянии равновесия давления на одном уровне равны, $p_{левый} = p_{правый}$:

$p_{атм} + \rho_м g h_м = p_{атм} + \rho_к g h_к + \rho_в g \Delta h$

Упростим уравнение, сократив $p_{атм}$ и $\text{g}$:

$\rho_м h_м = \rho_к h_к + \rho_в \Delta h$

Выразим искомую разность уровней $\Delta h$:

$\rho_в \Delta h = \rho_м h_м - \rho_к h_к$

$\Delta h = \frac{\rho_м h_м - \rho_к h_к}{\rho_в}$

Подставим числовые значения в единицах СГС (сантиметр-грамм-секунда), так как они удобнее:

$\Delta h = \frac{0,9 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 20 \text{ см} - 0,8 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 15 \text{ см}}{1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}} = \frac{18 \frac{\text{г}}{\text{см}^2} - 12 \frac{\text{г}}{\text{см}^2}}{1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}} = \frac{6 \frac{\text{г}}{\text{см}^2}}{1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}} = 6 \text{ см}$

Альтернативный способ расчета, без предварительного вычисления высот:

$\Delta h = \frac{\rho_м \frac{V_м}{S} - \rho_к \frac{V_к}{S}}{\rho_в} = \frac{\rho_м V_м - \rho_к V_к}{\rho_в S}$

$\Delta h = \frac{0,9 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 30 \text{ см}^3 - 0,8 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 22,5 \text{ см}^3}{1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 1,5 \text{ см}^2} = \frac{27 \text{ г} - 18 \text{ г}}{1,5 \frac{\text{г}}{\text{см}}} = \frac{9 \text{ г}}{1,5 \frac{\text{г}}{\text{см}}} = 6 \text{ см}$

Ответ: разность уровней воды в трубках составляет 6 см.