Номер 260, страница 33 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 260, страница 33.

Условие.

260. U-образная, вертикально расположенная трубка частично заполнена жидкостью так, что расстояние от открытых концов трубки до уровня жидкости в коленах трубки равно 5 см. Какой максимальной толщины слой более легкой жидкости можно налить в одно из колен трубки, чтобы жидкость из трубки не выливалась? Отношение величин плотностей жидкостей равно 1 : 2. Жидкости не смешиваются.

Решение.

Дано:

Расстояние от открытых концов трубки до уровня жидкости $h_{empty} = 5$ см = $0.05$ м.
Отношение плотностей жидкостей $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{2}$, где $\rho_1$ - плотность более легкой жидкости, а $\rho_2$ - плотность исходной жидкости.

Найти:

$h_{1,max}$ - максимальную толщину слоя более легкой жидкости.

Решение:

Обозначим плотность исходной (более тяжелой) жидкости как $\rho_2$, а плотность доливаемой (более легкой) жидкости как $\rho_1$. Согласно условию, $\rho_2 = 2\rho_1$. Исходное расстояние от краев трубки до поверхности жидкости в каждом колене равно $h_{empty} = 5$ см.

Когда в одно из колен (назовем его левым) наливают слой легкой жидкости высотой $h_1$, эта жидкость вытесняет тяжелую жидкость. Уровень тяжелой жидкости в левом колене опустится на некоторую высоту $\Delta h$, а в правом колене поднимется на ту же высоту $\Delta h$. Таким образом, разность уровней тяжелой жидкости в коленах составит $2\Delta h$.

Для того чтобы жидкость не выливалась из трубки, должны выполняться два условия:
1. Уровень тяжелой жидкости в правом колене не должен превысить край трубки. Так как изначально до края было расстояние $h_{empty}$, то подъем уровня $\Delta h$ не должен быть больше этого расстояния: $\Delta h \le h_{empty}$.
2. Уровень легкой жидкости в левом колене не должен превысить край трубки. Изначально до края было расстояние $h_{empty}$. Уровень тяжелой жидкости опустился на $\Delta h$, освободив дополнительное пространство. Таким образом, общая высота, доступная для легкой жидкости, равна $h_{empty} + \Delta h$. Следовательно, $h_1 \le h_{empty} + \Delta h$.

Рассмотрим условие гидростатического равновесия. Давление на уровне границы раздела двух жидкостей в левом колене должно быть равно давлению на том же горизонтальном уровне в правом колене.

Давление в левом колене на уровне границы раздела равно сумме атмосферного давления $P_{atm}$ и давления столба легкой жидкости высотой $h_1$:
$P_{left} = P_{atm} + \rho_1 g h_1$

Давление в правом колене на том же уровне равно сумме атмосферного давления и давления столба тяжелой жидкости высотой $2\Delta h$ (разность уровней тяжелой жидкости):
$P_{right} = P_{atm} + \rho_2 g (2\Delta h)$

Приравнивая давления ($P_{left} = P_{right}$), получаем:
$\rho_1 g h_1 = \rho_2 g (2\Delta h)$
$\rho_1 h_1 = 2 \rho_2 \Delta h$

Выразим $h_1$ через $\Delta h$:
$h_1 = \frac{2\rho_2}{\rho_1} \Delta h$.
Так как из условия $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{2}$, то $\frac{\rho_2}{\rho_1} = 2$. Тогда:
$h_1 = 2 \cdot 2 \cdot \Delta h = 4 \Delta h$.

Теперь подставим это соотношение в наши условия-ограничения, чтобы найти максимально возможное $\Delta h$, а затем и $h_1$.
1. Из первого условия: $\Delta h \le h_{empty}$.
2. Из второго условия, подставив $h_1 = 4 \Delta h$:
$4\Delta h \le h_{empty} + \Delta h$
$3\Delta h \le h_{empty}$
$\Delta h \le \frac{h_{empty}}{3}$.

Мы получили два ограничения для $\Delta h$: $\Delta h \le h_{empty}$ и $\Delta h \le \frac{h_{empty}}{3}$. Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо выбрать наиболее строгое из них, которое гарантирует выполнение и второго: $\Delta h \le \frac{h_{empty}}{3}$.

Максимальная толщина слоя $h_{1,max}$ будет достигнута при максимальном возможном значении $\Delta h$, то есть при $\Delta h_{max} = \frac{h_{empty}}{3}$.
Подставим это значение в формулу для $h_1$:
$h_{1,max} = 4 \Delta h_{max} = 4 \left(\frac{h_{empty}}{3}\right) = \frac{4}{3} h_{empty}$.

Теперь вычислим числовое значение, используя $h_{empty} = 5$ см:
$h_{1,max} = \frac{4}{3} \cdot 5 \text{ см} = \frac{20}{3} \text{ см} \approx 6.67$ см.

Ответ: Максимальная толщина слоя более легкой жидкости, которую можно налить, равна $\frac{20}{3}$ см (или примерно $6,67$ см).