Номер 261, страница 33 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 261, страница 33.

Условие.

261. Три одинаковых сообщающихся сосуда частично заполнены водой (см. рисунок). Когда в левый сосуд налили слой керосина высотой 20 см, а в правый – высотой 25 см, то уровень воды в среднем сосуде повысился. На сколько сантиметров повысился уровень воды в среднем сосуде?

Решение.

Дано:

$h_1 = 20 \text{ см}$

$h_2 = 25 \text{ см}$

Плотность воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность керосина $\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$

В систему СИ:
$h_1 = 0.2 \text{ м}$
$h_2 = 0.25 \text{ м}$

Найти:

$\Delta h$ — высота, на которую повысился уровень воды в среднем сосуде.

Решение:

В начальном состоянии, когда в сообщающихся сосудах находится только вода, ее уровень во всех трех сосудах одинаков. Примем этот уровень за нулевую высоту ($H_0 = 0$).

После добавления керосина в левый и правый сосуды, он создаст дополнительное давление на воду. Это приведет к тому, что уровни воды в левом и правом сосудах понизятся, а в среднем — повысится. Обозначим конечные уровни воды относительно начального как $z_1$ (в левом), $z_2$ (в среднем) и $z_3$ (в правом сосуде). Величина, которую нам нужно найти, это $\Delta h = z_2$.

Поскольку сосуды одинаковые (имеют одинаковую площадь поперечного сечения $\text{S}$), а вода является несжимаемой жидкостью, то объем воды, ушедшей из левого и правого сосудов, равен объему воды, пришедшей в средний сосуд. Изменение объема пропорционально изменению высоты. Следовательно, сумма изменений уровней воды во всех трех сосудах равна нулю:

$S \cdot z_1 + S \cdot z_2 + S \cdot z_3 = 0$

$z_1 + z_2 + z_3 = 0 \quad (1)$

Далее воспользуемся законом сообщающихся сосудов, который гласит, что давление на любом горизонтальном уровне внутри однородной жидкости, находящейся в равновесии, одинаково.

Рассмотрим давление на уровне воды в левом сосуде (на высоте $z_1$). Давление в этой точке со стороны левого столба жидкости создается столбом керосина высотой $h_1$ и атмосферным давлением $P_{атм}$:

$P_1 = P_{атм} + \rho_к g h_1$

В среднем сосуде на этой же высоте $z_1$ давление создается столбом воды высотой $(z_2 - z_1)$ и атмосферным давлением:

$P_2 = P_{атм} + \rho_в g (z_2 - z_1)$

В состоянии равновесия эти давления равны, $P_1 = P_2$:

$P_{атм} + \rho_к g h_1 = P_{атм} + \rho_в g (z_2 - z_1)$

$\rho_к h_1 = \rho_в (z_2 - z_1) \quad (2)$

Аналогично рассмотрим давление на уровне воды в правом сосуде (на высоте $z_3$). Давление со стороны правого столба жидкости:

$P_3 = P_{атм} + \rho_к g h_2$

Давление в среднем сосуде на этой же высоте $z_3$:

$P'_2 = P_{атм} + \rho_в g (z_2 - z_3)$

Приравнивая давления, получаем:

$\rho_к h_2 = \rho_в (z_2 - z_3) \quad (3)$

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными ($z_1$, $z_2$, $z_3$). Выразим $z_1$ и $z_3$ из уравнений (2) и (3):

Из (2): $z_2 - z_1 = \frac{\rho_к}{\rho_в} h_1 \implies z_1 = z_2 - \frac{\rho_к}{\rho_в} h_1$

Из (3): $z_2 - z_3 = \frac{\rho_к}{\rho_в} h_2 \implies z_3 = z_2 - \frac{\rho_к}{\rho_в} h_2$

Подставим эти выражения для $z_1$ и $z_3$ в уравнение (1):

$(z_2 - \frac{\rho_к}{\rho_в} h_1) + z_2 + (z_2 - \frac{\rho_к}{\rho_в} h_2) = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$3z_2 - \frac{\rho_к}{\rho_в} (h_1 + h_2) = 0$

Отсюда выразим $z_2$:

$3z_2 = \frac{\rho_к}{\rho_в} (h_1 + h_2)$

$z_2 = \frac{1}{3} \frac{\rho_к}{\rho_в} (h_1 + h_2)$

Так как $\Delta h = z_2$, подставим числовые значения. Расчет удобнее вести в сантиметрах, так как ответ требуется в сантиметрах.

$\Delta h = \frac{1}{3} \cdot \frac{800 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} \cdot (20 \text{ см} + 25 \text{ см})$

$\Delta h = \frac{1}{3} \cdot 0.8 \cdot (45 \text{ см})$

$\Delta h = 0.8 \cdot 15 \text{ см}$

$\Delta h = 12 \text{ см}$

Ответ: уровень воды в среднем сосуде повысился на 12 см.