Номер 259, страница 33 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 259, страница 33.

Условие.

259. В сосуд с водой вставлена трубка сечением $2 \text{ см}^2$. В трубку налили масло массой $72 \text{ г}$. Найдите разность уровней масла и воды.

Решение.

Дано:

Площадь сечения трубки, $S = 2 \text{ см}^2$

Масса масла, $m_{м} = 72 \text{ г}$

Плотность воды, $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)

Плотность масла, $\rho_{м} = 900 \text{ кг/м}^3$ (стандартное табличное значение, так как не указано в условии)

Перевод в систему СИ:

$S = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$m_{м} = 72 \text{ г} = 0.072 \text{ кг}$

Найти:

Разность уровней масла и воды, $\Delta h$.

Решение:

Когда масло наливают в трубку, оно создает давление на воду, находящуюся под ним. Это давление уравновешивается гидростатическим давлением столба воды, который образуется из-за разности уровней воды в широком сосуде и на границе раздела "масло-вода" в трубке.

Обозначим высоту, на которую уровень воды в сосуде выше границы раздела масла и воды в трубке, как $h_{в}$. Давление, создаваемое этим столбом воды, равно $P_{в} = \rho_{в} g h_{в}$.

Давление, создаваемое столбом налитого масла, можно найти как отношение его веса к площади сечения трубки: $P_{м} = \frac{m_{м} g}{S}$.

В состоянии равновесия эти давления равны: $P_{м} = P_{в}$.

$\frac{m_{м} g}{S} = \rho_{в} g h_{в}$

Сократив $\text{g}$, получим выражение для $h_{в}$:

$h_{в} = \frac{m_{м}}{\rho_{в} S}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$h_{в} = \frac{0.072 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{0.072}{0.2} \text{ м} = 0.36 \text{ м} = 36 \text{ см}$.

Теперь найдем высоту столба масла $h_{м}$. Масса масла связана с его объемом $V_{м} = S \cdot h_{м}$ и плотностью $\rho_{м}$ через формулу $m_{м} = \rho_{м} V_{м} = \rho_{м} S h_{м}$.

Отсюда высота столба масла:

$h_{м} = \frac{m_{м}}{\rho_{м} S}$

Подставим значения:

$h_{м} = \frac{0.072 \text{ кг}}{900 \text{ кг/м}^3 \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2} = \frac{0.072}{0.18} \text{ м} = 0.4 \text{ м} = 40 \text{ см}$.

Искомая разность уровней $\Delta h$ — это разница между высотой верхнего уровня масла в трубке и уровнем воды в сосуде. Относительно границы раздела масла и воды, уровень масла находится на высоте $h_{м}$, а уровень воды в сосуде — на высоте $h_{в}$. Таким образом, разность уровней равна:

$\Delta h = h_{м} - h_{в}$

$\Delta h = 40 \text{ см} - 36 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: разность уровней масла и воды составляет 4 см.