Номер 257, страница 32 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 257, страница 32.

Условие.

257. В сообщающихся сосудах с вертикальными стенками и площадью сечения $20 \text{ см}^2$ находится вода. В один из сосудов наливают масло массой $180 \text{ г}$, при этом вода остается в обоих сосудах и не перемешивается с маслом. Определите разность уровней жидкостей в сосудах.

Решение.

Дано:

$S = 20 \text{ см}^2$

$m_{м} = 180 \text{ г}$

В сосудах находится вода, плотность которой $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$.

Плотность масла примем равной $\rho_{м} = 900 \text{ кг/м}^3$ (стандартное значение, если не указано иное).

Перевод в систему СИ:

$S = 20 \text{ см}^2 = 20 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 20 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

$m_{м} = 180 \text{ г} = 0.18 \text{ кг}$

Найти:

$\Delta h$ – разность уровней жидкостей в сосудах.

Решение:

После добавления масла в один из сосудов (назовем его левым), оно образует столб высотой $h_м$. Эту высоту можно найти, зная массу, плотность масла и площадь сечения сосуда.

Масса масла связана с его объемом $V_м$ и плотностью $\rho_м$ формулой $m_м = \rho_м V_м$. Объем столба масла равен $V_м = S \cdot h_м$.

Отсюда высота столба масла:

$h_м = \frac{m_м}{\rho_м \cdot S}$

Подставим числовые значения:

$h_м = \frac{0.18 \text{ кг}}{900 \text{ кг/м}^3 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2} = \frac{0.18}{1.8} \text{ м} = 0.1 \text{ м} = 10 \text{ см}$

Столб масла в левом сосуде оказывает давление на воду, из-за чего уровень воды в левом сосуде опускается на некоторую высоту $\text{x}$, а в правом сосуде поднимается на ту же высоту $\text{x}$. Таким образом, разница уровней воды в сосудах становится равной $2x$.

Для сообщающихся сосудов в состоянии равновесия давление на любом горизонтальном уровне в одной и той же жидкости одинаково. Выберем в качестве уровня сравнения границу раздела масла и воды в левом сосуде. Давление, создаваемое столбом масла высотой $h_м$ в левом сосуде, уравновешивается давлением столба воды высотой $2x$ в правом сосуде.

$\rho_м g h_м = \rho_в g (2x)$

Отсюда можем найти разницу уровней воды $2x$:

$2x = \frac{\rho_м}{\rho_в} h_м$

$2x = \frac{900 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} \cdot 0.1 \text{ м} = 0.9 \cdot 0.1 \text{ м} = 0.09 \text{ м} = 9 \text{ см}$

Искомая разность уровней жидкостей в сосудах $(\Delta h)$ — это разность между уровнем поверхности масла в левом сосуде и уровнем поверхности воды в правом сосуде. Относительно границы раздела "масло-вода" уровень масла в левом сосуде равен $h_м$, а уровень воды в правом сосуде равен $2x$.

Тогда искомая разность уровней:

$\Delta h = h_м - 2x$

Подставим найденные значения:

$\Delta h = 10 \text{ см} - 9 \text{ см} = 1 \text{ см}$

Можно также выразить $\Delta h$ через общую формулу:

$\Delta h = h_м - \frac{\rho_м}{\rho_в} h_м = h_м \left(1 - \frac{\rho_м}{\rho_в}\right)$

$\Delta h = 0.1 \text{ м} \cdot \left(1 - \frac{900}{1000}\right) = 0.1 \text{ м} \cdot (1 - 0.9) = 0.1 \text{ м} \cdot 0.1 = 0.01 \text{ м}$

Ответ: разность уровней жидкостей в сосудах составляет 0.01 м или 1 см.