Номер 258, страница 33 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Сообщающиеся сосуды - номер 258, страница 33.

Условие.

258. В воде плавает в вертикальном положении труба. Высота выступающей из воды части трубы 5 см. Внутрь трубы наливают масло. Какой длины должна быть труба для того, чтобы ее можно было целиком заполнить маслом?

Решение.

Дано:

Высота выступающей из воды части трубы, $h = 5$ см.

Плотность воды (справочное значение), $\rho_в = 1000$ кг/м³.

Плотность масла (справочное значение, т.к. не указано в условии), $\rho_м = 900$ кг/м³.

$h = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$\rho_в = 1000 \text{ кг/м³}$
$\rho_м = 900 \text{ кг/м³}$

Найти:

Длину трубы $\text{L}$.

Решение:

Пусть $\text{L}$ – искомая полная длина трубы, а $\text{S}$ – площадь её поперечного сечения. Изначально, когда пустая труба плавает, её вес уравновешивается силой Архимеда.

Когда внутрь трубы наливают масло доверху, её вес увеличивается на вес масла $P_м = m_м g = (\rho_м S L) g$.

Для того чтобы труба оставалась на плаву, это увеличение веса должно быть скомпенсировано увеличением выталкивающей силы $\Delta F_А$. Увеличение выталкивающей силы происходит за счёт того, что часть трубы, которая была над водой (длиной $\text{h}$), теперь погружается в воду.

Дополнительный объем, который погружается в воду, равен $\Delta V = S \cdot h$.

Увеличение выталкивающей силы равно весу воды в этом дополнительном объеме:

$\Delta F_А = \rho_в g \Delta V = \rho_в g S h$

В предельном случае, когда труба заполнена маслом и полностью погружена в воду (её верхний край находится на уровне поверхности воды), вес добавленного масла равен увеличению выталкивающей силы:

$P_м = \Delta F_А$

$\rho_м S L g = \rho_в g S h$

Сократим обе части равенства на $\text{S}$ и $\text{g}$, так как они не равны нулю:

$\rho_м L = \rho_в h$

Из этого уравнения выражаем искомую длину трубы $\text{L}$:

$L = \frac{\rho_в h}{\rho_м}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$L = \frac{1000 \text{ кг/м³} \cdot 0.05 \text{ м}}{900 \text{ кг/м³}} = \frac{50}{900} \text{ м} = \frac{1}{18} \text{ м}$

Для удобства переведём результат в сантиметры:

$L = \frac{1}{18} \text{ м} \cdot 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = \frac{100}{18} \text{ см} = \frac{50}{9} \text{ см} \approx 5.56 \text{ см}$

Ответ:

Длина трубы должна быть $L \approx 5.56$ см. Этот результат получен при использовании справочного значения плотности масла $\rho_м = 900$ кг/м³, так как оно не было указано в условии задачи. При другом значении плотности масла ответ изменится.