Номер 237, страница 29 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Давление жидкости - номер 237, страница 29.

Условие.

237. В полусферический колокол, плотно лежащий на столе, наливают через отверстие вверху воду. Когда вода доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает вытекать снизу. Найдите массу колокола, если его радиус равен 20 см. (Объем шара – $\frac{4}{3}\pi R^3$, площадь круга – $\pi R^2$.)

Решение.

Дано:

Радиус полусферического колокола $R = 20$ см.
Задача решается с использованием плотности воды $\rho_в = 1000$ кг/м³.
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с² (его значение сократится в ходе решения).

Перевод в систему СИ:
$R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$.

Найти:

Массу колокола $\text{m}$.

Решение:

Колокол начинает приподниматься, когда выталкивающая сила, действующая на него со стороны воды, становится равной силе тяжести самого колокола.

$F_{выт} = F_{тяж} = mg$

Выталкивающая сила $F_{выт}$ — это суммарная вертикальная сила давления воды на внутреннюю поверхность колокола. Чтобы её найти, рассмотрим равновесие объёма воды внутри колокола. На воду действуют следующие вертикальные силы:
1. Сила тяжести воды $P_в$, направленная вниз.
2. Сила реакции со стороны стола $F_{ст}$, направленная вверх. Она равна силе, с которой столб воды высотой $\text{R}$ давит на площадь основания.
3. Вертикальная составляющая силы давления колокола на воду $F_{к \t°в}$, направленная вниз.

Поскольку вода находится в равновесии, сумма этих сил равна нулю:
$F_{ст} - P_в - F_{к \t°в} = 0$

По третьему закону Ньютона, выталкивающая сила $F_{выт}$, действующая на колокол, равна по модулю и противоположна по направлению силе $F_{к \t°в}$. Таким образом, $F_{выт}$ направлена вверх и по величине равна:
$F_{выт} = F_{к \t°в} = F_{ст} - P_в$.

Рассчитаем силы $F_{ст}$ и $P_в$.
Сила реакции стола $F_{ст}$ равна силе давления воды на площадь основания $S = \pi R^2$. Давление на глубине $h=R$ равно $p = \rho_в g R$.
$F_{ст} = pS = (\rho_в g R)(\pi R^2) = \rho_в g \pi R^3$.

Вес воды $P_в$ равен произведению массы воды на $\text{g}$. Масса воды - это плотность, умноженная на объём полусферы $V_п$. Объём полусферы равен половине объёма шара.
$V_п = \frac{1}{2} V_{шара} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$.
$P_в = m_в g = \rho_в V_п g = \frac{2}{3} \rho_в g \pi R^3$.

Теперь можем найти выталкивающую силу:
$F_{выт} = \rho_в g \pi R^3 - \frac{2}{3} \rho_в g \pi R^3 = \frac{1}{3} \rho_в g \pi R^3$.

Приравняем силу тяжести колокола к выталкивающей силе, чтобы найти массу:
$mg = \frac{1}{3} \rho_в g \pi R^3$.

Сокращая $\text{g}$, получаем выражение для массы $\text{m}$:
$m = \frac{1}{3} \rho_в \pi R^3$.

Подставим числовые значения:
$m = \frac{1}{3} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \pi \cdot (0.2 \text{ м})^3 = \frac{1}{3} \cdot 1000 \cdot \pi \cdot 0.008 \text{ кг} = \frac{8\pi}{3} \text{ кг}$.

Вычислим приближённое значение массы, принимая $\pi \approx 3.14$:
$m \approx \frac{8 \cdot 3.14}{3} \approx \frac{25.12}{3} \approx 8.37 \text{ кг}$.

Так как радиус дан с двумя значащими цифрами (20 см), округлим ответ до двух значащих цифр.

Ответ: $m \approx 8.4$ кг.