Номер 233, страница 28 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Давление жидкости - номер 233, страница 28.

Условие.

233. Сила давления воды на дно прямоугольного аквариума равна 60 Н. На меньшую из боковых стенок, ширина которой 20 см, вода давит с силой 10 Н. Какова сила давления воды на большую из боковых стенок?

Решение.

Дано:

$F_{дно} = 60$ Н - сила давления на дно аквариума.

$F_1 = 10$ Н - сила давления на меньшую боковую стенку.

$a = 20$ см - ширина меньшей боковой стенки.

Будем считать, что аквариум налит водой, плотность которой $\\rho= 1000 \frac{кг}{м^3}$.

Ускорение свободного падения примем равным $g = 10 \frac{м}{с^2}$.

$a = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

$F_2$ - сила давления на большую боковую стенку.

Решение:

Пусть аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами основания $\text{a}$ (ширина) и $\text{b}$ (длина), а вода в него налита до высоты $\text{h}$. По условию, $\text{a}$ — это меньшая сторона основания, значит $a < b$.

Сила давления воды на дно аквариума определяется по формуле:

$F_{дно} = p_{дно} \cdot S_{дно} = (\\rhog h) \cdot (a b)$, где $\rho$ - плотность воды, $\text{g}$ - ускорение свободного падения.

$(1) \quad \\rhog h a b = 60 \text{ Н}$

Давление воды на боковую стенку неравномерно и растет с глубиной. Сила давления на вертикальную стенку равна произведению среднего давления на площадь стенки. Среднее давление равно давлению на половине глубины: $p_{ср} = \frac{1}{2}\\rhog h$.

Площадь меньшей боковой стенки $S_1 = a \cdot h$. Сила давления на нее:

$F_1 = p_{ср} \cdot S_1 = (\frac{1}{2}\\rhog h) \cdot (a h) = \frac{1}{2}\\rhog a h^2$.

$(2) \quad \frac{1}{2}\\rhog a h^2 = 10 \text{ Н}$

Площадь большей боковой стенки $S_2 = b \cdot h$. Сила давления на нее:

$F_2 = p_{ср} \cdot S_2 = (\frac{1}{2}\\rhog h) \cdot (b h) = \frac{1}{2}\\rhog b h^2$.

$(3) \quad F_2 = \frac{1}{2}\\rhog b h^2$

Из уравнения (2) мы можем найти высоту воды $\text{h}$ в аквариуме, используя известные значения:

$10 = \frac{1}{2} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot 0.2 \text{ м} \cdot h^2$

$10 = 5000 \cdot 0.2 \cdot h^2$

$10 = 1000 \cdot h^2$

$h^2 = \frac{10}{1000} = 0.01 \text{ м}^2$

$h = \sqrt{0.01} = 0.1 \text{ м}$

Теперь найдем соотношение между длиной $\text{b}$ и высотой $\text{h}$. Для этого разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{F_{дно}}{F_1} = \frac{\\rhog h a b}{\frac{1}{2}\\rhog a h^2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{b}{h} = \frac{2b}{h}$

Подставим числовые значения:

$\frac{60}{10} = \frac{2b}{h}$

$6 = \frac{2b}{h} \implies 3 = \frac{b}{h} \implies b = 3h$

Зная высоту $h = 0.1$ м, найдем длину аквариума $\text{b}$:

$b = 3 \cdot 0.1 \text{ м} = 0.3 \text{ м}$

Наконец, найдем силу давления $F_2$ на большую стенку. Проще всего это сделать, разделив уравнение (3) на уравнение (2):

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{1}{2}\\rhog b h^2}{\frac{1}{2}\\rhog a h^2} = \frac{b}{a}$

Отсюда $F_2 = F_1 \cdot \frac{b}{a}$.

Подставим известные значения:

$F_2 = 10 \text{ Н} \cdot \frac{0.3 \text{ м}}{0.2 \text{ м}} = 10 \cdot 1.5 = 15 \text{ Н}$

Ответ: Сила давления воды на большую из боковых стенок равна 15 Н.