Номер 478, страница 57 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 478, страница 57.

Условие.

478. Тело брошено вертикально вверх со скоростью $25 \text{ м/с}$. На какой высоте его кинетическая энергия будет в 2 раза меньше потенциальной?

Решение.

Дано

$v_0 = 25$ м/с

$E_p = 2 \cdot E_k$ (потенциальная энергия в 2 раза больше кинетической)

$g \approx 10$ м/с² (ускорение свободного падения)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. В начальный момент времени (при $h_0=0$) тело обладает начальной кинетической энергией $E_{k0}$ и нулевой потенциальной энергией $E_{p0}=0$. Таким образом, полная начальная энергия системы равна:

$E_0 = E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$

На искомой высоте $\text{h}$ тело будет обладать как кинетической энергией $E_k$, так и потенциальной энергией $E_p$. Полная энергия на этой высоте будет равна их сумме:

$E = E_k + E_p$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы остается постоянной, то есть $E_0 = E$.

$\frac{mv_0^2}{2} = E_k + E_p$

Из условия задачи известно, что на искомой высоте кинетическая энергия в 2 раза меньше потенциальной, что можно записать как $E_p = 2E_k$ или $E_k = \frac{E_p}{2}$. Подставим это соотношение в уравнение закона сохранения энергии:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{E_p}{2} + E_p$

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{3}{2}E_p$

Потенциальная энергия тела на высоте $\text{h}$ определяется формулой $E_p = mgh$. Подставим это выражение в полученное уравнение:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{3}{2}mgh$

Сократим массу $\text{m}$ и множитель $\frac{1}{2}$ в обеих частях уравнения:

$v_0^2 = 3gh$

Теперь выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{v_0^2}{3g}$

Подставим числовые значения из условия:

$h = \frac{(25 \text{ м/с})^2}{3 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{625 \text{ м}^2/\text{с}^2}{30 \text{ м/с}^2} = \frac{125}{6} \text{ м} \approx 20.83 \text{ м}$

Ответ: на высоте примерно 20.83 м.