Номер 480, страница 58 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 480, страница 58.

Условие.

480. Камень падает с высоты 12 м. Какова его скорость в момент падения на крышу дома, высота которого 4 м? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Дано:

Начальная высота, $H = 12$ м

Высота крыши дома, $h = 4$ м

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с (поскольку камень падает из состояния покоя)

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Скорость камня в момент падения на крышу, $\text{v}$ - ?

Решение:

Поскольку по условию задачи сопротивлением воздуха следует пренебречь, мы можем использовать закон сохранения полной механической энергии. Согласно этому закону, полная механическая энергия камня в начальной точке (на высоте $\text{H}$) равна его полной механической энергии в конечной точке (на высоте $\text{h}$, то есть на крыше дома).

Полная механическая энергия $\text{E}$ тела является суммой его кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$.

Закон сохранения энергии можно записать в виде:

$E_1 = E_2$

$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$

где $E_{k1}$ и $E_{p1}$ — кинетическая и потенциальная энергии в начальный момент, а $E_{k2}$ и $E_{p2}$ — в конечный.

Кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$, а потенциальная энергия в поле тяжести Земли — $E_p = mgh$.

Подставим выражения для энергий в закон сохранения:

$\frac{mv_0^2}{2} + mgH = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Так как камень падает, его начальная скорость $v_0 = 0$. Уравнение принимает вид:

$0 + mgH = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Мы можем сократить массу камня $\text{m}$, так как она присутствует в каждом члене уравнения:

$gH = \frac{v^2}{2} + gh$

Теперь выразим искомую скорость $\text{v}$:

$\frac{v^2}{2} = gH - gh$

$\frac{v^2}{2} = g(H - h)$

$v^2 = 2g(H - h)$

$v = \sqrt{2g(H - h)}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (12 \text{ м} - 4 \text{ м})}$

$v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 8 \text{ м}}$

$v = \sqrt{156.8 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 12.52$ м/с

Ответ: скорость камня в момент падения на крышу дома составляет приблизительно 12.52 м/с.