Номер 103, страница 70 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Плавление, кристаллизация - номер 103, страница 70.

Условие.

103. С какой наименьшей скоростью должна лететь свинцовая дробинка, чтобы при ударе о препятствие она полностью расплавилась? Считать, что 80% кинетической энергии превратилось во внутреннюю энергию дробинки, а температура дробинки до удара была 127 °С.

Решение.

Дано:

$\eta = 80\% = 0.8$
$t_1 = 127 \text{ °C}$
Материал - свинец.
Справочные данные для свинца:
Удельная теплоемкость $c = 130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$
Температура плавления $t_{пл} = 327 \text{ °C}$
Удельная теплота плавления $\lambda = 2.5 \cdot 10^4 \frac{Дж}{кг}$

Найти:

$v_{min}$ - ?

Решение:

Для того чтобы свинцовая дробинка полностью расплавилась при ударе, количество теплоты, выделившееся при ударе, должно быть достаточным для нагрева дробинки до температуры плавления и для ее полного плавления.

По закону сохранения энергии, часть кинетической энергии дробинки ($E_к$) переходит в ее внутреннюю энергию ($\text{Q}$). По условию задачи, эта часть составляет $\eta = 80\%$. $Q = \eta \cdot E_к$

Кинетическая энергия дробинки массой $\text{m}$, летящей со скоростью $\text{v}$, вычисляется по формуле: $E_к = \frac{m v^2}{2}$

Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для нагрева дробинки от начальной температуры $t_1$ до температуры плавления $t_{пл}$ ($Q_1$) и для ее последующего плавления ($Q_2$), равно: $Q = Q_1 + Q_2 = c m (t_{пл} - t_1) + \lambda m$

Приравняем два выражения для $\text{Q}$: $\eta \frac{m v^2}{2} = c m (t_{пл} - t_1) + \lambda m$

Масса дробинки $\text{m}$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому мы можем ее сократить: $\eta \frac{v^2}{2} = c (t_{пл} - t_1) + \lambda$

Теперь выразим наименьшую скорость $\text{v}$: $v^2 = \frac{2 (c (t_{пл} - t_1) + \lambda)}{\eta}$ $v = \sqrt{\frac{2 (c (t_{пл} - t_1) + \lambda)}{\eta}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $v = \sqrt{\frac{2 \cdot (130 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot (327 \text{ °C} - 127 \text{ °C}) + 2.5 \cdot 10^4 \frac{Дж}{кг})}{0.8}}$ $v = \sqrt{\frac{2 \cdot (130 \cdot 200 + 25000)}{0.8}}$ $v = \sqrt{\frac{2 \cdot (26000 + 25000)}{0.8}}$ $v = \sqrt{\frac{2 \cdot 51000}{0.8}} = \sqrt{\frac{102000}{0.8}} = \sqrt{127500} \approx 357.07 \frac{м}{с}$

Округляя результат, получаем: $v \approx 357 \frac{м}{с}$

Ответ: наименьшая скорость, с которой должна лететь свинцовая дробинка, чтобы полностью расплавиться при ударе, составляет примерно $357 \frac{м}{с}$.