Номер 107, страница 70 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Плавление, кристаллизация - номер 107, страница 70.

Условие.

107. Сколько стали, взятой при 20 °C, можно расплавить в печи с КПД 50%, сжигая 2 т каменного угля?

Решение.

Дано

Начальная температура стали $t_1 = 20$ °C
КПД печи $\eta = 50\%$
Масса каменного угля $m_{у} = 2$ т
Удельная теплота сгорания каменного угля $q_у = 2.7 \cdot 10^7$ Дж/кг (табличное значение)
Удельная теплоемкость стали $c_{ст} = 500$ Дж/(кг·°C) (табличное значение)
Температура плавления стали $t_{пл} \approx 1500$ °C (табличное значение)
Удельная теплота плавления стали $\lambda_{ст} = 8.4 \cdot 10^4$ Дж/кг (табличное значение)

$m_{у} = 2 \text{ т} = 2000 \text{ кг}$
$\eta = 50\% = 0.5$

Найти:

Массу стали $m_{ст}$

Решение

Для того чтобы расплавить сталь, необходимо сначала сжечь уголь, чтобы получить энергию. Количество теплоты $Q_{полн}$, которое выделится при полном сгорании 2 тонн каменного угля, рассчитывается по формуле:

$Q_{полн} = q_у \cdot m_у$

Так как коэффициент полезного действия (КПД) печи равен 50%, то только половина этой энергии пойдет на нагрев и плавление стали. Эта полезная теплота $Q_{полез}$ равна:

$Q_{полез} = \eta \cdot Q_{полн} = \eta \cdot q_у \cdot m_у$

Количество теплоты $Q_{ст}$, которое необходимо для плавления стали, состоит из двух частей:

1. Количество теплоты $Q_1$ для нагрева стали от начальной температуры $t_1$ до температуры плавления $t_{пл}$:

$Q_1 = c_{ст} \cdot m_{ст} \cdot (t_{пл} - t_1)$

2. Количество теплоты $Q_2$ для плавления стали при температуре плавления:

$Q_2 = \lambda_{ст} \cdot m_{ст}$

Общее количество теплоты, необходимое для плавления стали, равно сумме $Q_1$ и $Q_2$:

$Q_{ст} = Q_1 + Q_2 = c_{ст} \cdot m_{ст} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{ст} \cdot m_{ст}$

Можно вынести массу стали $m_{ст}$ за скобки:

$Q_{ст} = m_{ст} \cdot (c_{ст} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{ст})$

По условию задачи, вся полезная теплота от сгорания угля идет на нагрев и плавление стали, следовательно:

$Q_{полез} = Q_{ст}$

$\eta \cdot q_у \cdot m_у = m_{ст} \cdot (c_{ст} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{ст})$

Из этого уравнения выразим искомую массу стали $m_{ст}$:

$m_{ст} = \frac{\eta \cdot q_у \cdot m_у}{c_{ст} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda_{ст}}$

Теперь подставим числовые значения в формулу:

$m_{ст} = \frac{0.5 \cdot 2.7 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 2000 \text{ кг}}{500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (1500 \text{°C} - 20 \text{°C}) + 8.4 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}$

$m_{ст} = \frac{2.7 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1480 \text{°C} + 84000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} = \frac{2.7 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{740000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 84000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}$

$m_{ст} = \frac{2.7 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{824000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}} \approx 32767 \text{ кг}$

Переведем массу в тонны: $32767 \text{ кг} \approx 32.8 \text{ т}$.

Ответ: можно расплавить примерно 32.8 т стали.