Номер 106, страница 70 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Плавление, кристаллизация - номер 106, страница 70.

Условие.

106. Определите, какую массу керосина надо сжечь на горелке с КПД $25\%$, чтобы из $2 \, \text{кг}$ льда, взятого при $0^\circ\text{C}$, получить воду при $100^\circ\text{C}$.

Решение.

Дано:

КПД горелки, $\eta = 25\%$

Масса льда, $m_л = 2$ кг

Начальная температура льда, $t_1 = 0$ °C

Конечная температура воды, $t_2 = 100$ °C

Удельная теплота плавления льда, $\lambda = 3.3 \cdot 10^5$ Дж/кг

Удельная теплоемкость воды, $c = 4200$ Дж/(кг·°C)

Удельная теплота сгорания керосина, $q = 4.6 \cdot 10^7$ Дж/кг

Перевод в систему СИ:

$\eta = 25\% = 0.25$

Остальные величины уже даны в единицах СИ.

Найти:

Массу керосина, $m_к$ - ?

Решение:

Для того чтобы 2 кг льда при 0 °C превратить в воду при 100 °C, необходимо затратить некоторое количество теплоты, которое мы назовем полезной теплотой ($Q_{полезн}$). Этот процесс состоит из двух этапов:

1. Плавление льда при температуре 0 °C. Количество теплоты, необходимое для этого, вычисляется по формуле:

$Q_1 = \lambda \cdot m_л$

2. Нагревание получившейся воды от 0 °C до 100 °C. Количество теплоты, необходимое для этого, вычисляется по формуле:

$Q_2 = c \cdot m_л \cdot (t_2 - t_1)$

Таким образом, общее полезное количество теплоты равно сумме теплоты на плавление и теплоты на нагревание:

$Q_{полезн} = Q_1 + Q_2 = \lambda \cdot m_л + c \cdot m_л \cdot (t_2 - t_1) = m_л (\lambda + c(t_2 - t_1))$

Эта теплота поступает от сгорания керосина. Полное количество теплоты ($Q_{полн}$), выделяемое при сгорании массы керосина $m_к$, равно:

$Q_{полн} = q \cdot m_к$

Коэффициент полезного действия (КПД) горелки по определению есть отношение полезной теплоты к полной (затраченной) теплоте:

$\eta = \frac{Q_{полезн}}{Q_{полн}}$

Из этой формулы мы можем выразить полную теплоту, которая должна выделиться при сгорании керосина:

$Q_{полн} = \frac{Q_{полезн}}{\eta}$

Теперь приравняем два выражения для $Q_{полн}$ и выразим искомую массу керосина $m_к$:

$q \cdot m_к = \frac{m_л (\lambda + c(t_2 - t_1))}{\eta}$

$m_к = \frac{m_л (\lambda + c(t_2 - t_1))}{q \cdot \eta}$

Подставим числовые значения в формулу:

$m_к = \frac{2 \text{ кг} \cdot (3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (100 \text{°C} - 0 \text{°C}))}{4.6 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0.25}$

$m_к = \frac{2 \cdot (330000 + 420000)}{4.6 \cdot 10^7 \cdot 0.25} \text{ кг}$

$m_к = \frac{2 \cdot 750000}{11500000} \text{ кг} = \frac{1500000}{11500000} \text{ кг}$

$m_к \approx 0.13043 \text{ кг}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем 0.13 кг.

Ответ: необходимо сжечь примерно 0.13 кг (или 130 г) керосина.