Номер 111, страница 71 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Плавление, кристаллизация - номер 111, страница 71.

Условие.

111. Кусок свинца, имеющий массу 1 кг, расплавился наполовину при сообщении ему 54,5 кДж энергии. Какова начальная температура свинца?

Решение.

Дано:

Масса свинца, $m = 1$ кг

Сообщенная энергия, $Q = 54,5$ кДж

Часть расплавленного свинца = $\frac{1}{2}$

Табличные данные для свинца:

Удельная теплоемкость, $c = 140 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Температура плавления, $t_{пл} = 327 °C$

Удельная теплота плавления, $\lambda = 2,5 \cdot 10^4 \frac{Дж}{кг}$

Перевод в СИ:

$Q = 54,5 \text{ кДж} = 54,5 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 54500 \text{ Дж}$

Найти:

Начальная температура свинца, $t_{нач}$ - ?

Решение:

Общее количество теплоты $\text{Q}$, сообщенное свинцу, было затрачено на два процесса:
1. Нагревание всего куска свинца от начальной температуры $t_{нач}$ до температуры плавления $t_{пл}$. Обозначим это количество теплоты как $Q_1$.
2. Плавление половины массы свинца при температуре плавления. Обозначим это количество теплоты как $Q_2$.

Суммарное количество теплоты равно:

$Q = Q_1 + Q_2$

Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, вычисляется по формуле:

$Q_1 = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_{нач})$

где $\text{c}$ – удельная теплоемкость свинца, $\text{m}$ – его масса, $t_{пл}$ – температура плавления, $t_{нач}$ – начальная температура.

Количество теплоты, необходимое для плавления, вычисляется по формуле:

$Q_2 = \lambda \cdot m_{распл}$

где $\lambda$ – удельная теплота плавления свинца, а $m_{распл}$ – масса расплавившейся части. По условию задачи, расплавилась половина куска, следовательно:

$m_{распл} = \frac{m}{2}$

Тогда формула для $Q_2$ примет вид:

$Q_2 = \lambda \cdot \frac{m}{2}$

Теперь подставим выражения для $Q_1$ и $Q_2$ в общую формулу:

$Q = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_{нач}) + \lambda \cdot \frac{m}{2}$

Наша цель – найти $t_{нач}$. Выразим из этого уравнения разность температур $(t_{пл} - t_{нач})$:

$c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_{нач}) = Q - \lambda \cdot \frac{m}{2}$

А затем и саму начальную температуру $t_{нач}$:

$t_{пл} - t_{нач} = \frac{Q - \lambda \cdot \frac{m}{2}}{c \cdot m}$

$t_{нач} = t_{пл} - \frac{Q - \lambda \cdot \frac{m}{2}}{c \cdot m}$

Подставим числовые значения. Сначала вычислим количество теплоты, пошедшее на плавление половины свинца:

$Q_2 = 2,5 \cdot 10^4 \frac{Дж}{кг} \cdot \frac{1 \text{ кг}}{2} = 12500$ Дж

Теперь найдем количество теплоты, пошедшее на нагревание всего куска свинца:

$Q_1 = Q - Q_2 = 54500 \text{ Дж} - 12500 \text{ Дж} = 42000$ Дж

Теперь из формулы для $Q_1$ найдем, на сколько градусов был нагрет свинец:

$\Delta t = t_{пл} - t_{нач} = \frac{Q_1}{c \cdot m} = \frac{42000 \text{ Дж}}{140 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 1 \text{ кг}} = \frac{42000}{140} °C = 300 °C$

Зная, что конечная температура нагрева равна температуре плавления ($327 °C$), найдем начальную температуру:

$t_{нач} = t_{пл} - \Delta t = 327 °C - 300 °C = 27 °C$

Ответ: начальная температура свинца была 27 °C.