Номер 114, страница 71 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Плавление, кристаллизация - номер 114, страница 71.

Условие.

114. В калориметре в воде плавает кусок льда массой 0,1 кг, в который вмерзла свинцовая дробинка массой 5 г. Какое минимальное количество тепла надо затратить, чтобы дробинка начала тонуть? Температура воды в калориметре 0 °С.

Решение.

Дано:

Масса льда $m_л = 0,1$ кг

Масса свинцовой дробинки $m_с = 5$ г

Температура воды и льда $t = 0$ °C

$m_с = 5 \text{ г} = 0,005 \text{ кг}$

Найти:

Минимальное количество теплоты $\text{Q}$

Решение:

Свинцовая дробинка, вмерзшая в лед, начнет тонуть в тот момент, когда общая система (оставшийся лед + дробинка) будет иметь среднюю плотность, равную плотности воды. В этом случае система будет находиться в состоянии безразличного равновесия (нейтральной плавучести) при полном погружении в воду. Это условие является граничным: если растопить еще немного льда, система утонет. Таким образом, мы ищем количество теплоты, необходимое для того, чтобы растопить лед до этой критической массы.

Условие нейтральной плавучести: сила тяжести, действующая на систему, равна выталкивающей силе (силе Архимеда) при полном погружении тела в воду.

$F_{тяж} = F_A$

Пусть $m'_л$ — масса льда, которая должна остаться, чтобы система была на грани потопления. Тогда общая масса системы равна $m'_л + m_с$. Сила тяжести равна:

$F_{тяж} = (m'_л + m_с)g$

Общий объем системы $V_{общ}$ равен сумме объемов оставшегося льда $V'_л$ и дробинки $V_с$.

$V_{общ} = V'_л + V_с = \frac{m'_л}{\rho_л} + \frac{m_с}{\rho_с}$

где $\rho_л$ — плотность льда, а $\rho_с$ — плотность свинца.

Сила Архимеда при полном погружении равна:

$F_A = \rho_в g V_{общ} = \rho_в g (\frac{m'_л}{\rho_л} + \frac{m_с}{\rho_с})$

где $\rho_в$ — плотность воды.

Приравнивая силу тяжести и силу Архимеда, получаем:

$(m'_л + m_с)g = \rho_в g (\frac{m'_л}{\rho_л} + \frac{m_с}{\rho_с})$

Сократим на $\text{g}$ и выразим массу оставшегося льда $m'_л$:

$m'_л + m_с = \rho_в \frac{m'_л}{\rho_л} + \rho_в \frac{m_с}{\rho_с}$

$m'_л - \rho_в \frac{m'_л}{\rho_л} = \rho_в \frac{m_с}{\rho_с} - m_с$

$m'_л(1 - \frac{\rho_в}{\rho_л}) = m_с(\frac{\rho_в}{\rho_с} - 1)$

$m'_л(\frac{\rho_л - \rho_в}{\rho_л}) = m_с(\frac{\rho_в - \rho_с}{\rho_с})$

$m'_л = m_с \frac{\rho_в - \rho_с}{\rho_с} \frac{\rho_л}{\rho_л - \rho_в} = m_с \frac{\rho_с - \rho_в}{\rho_в - \rho_л} \frac{\rho_л}{\rho_с}$

Масса льда, которую необходимо растопить, равна разности начальной и конечной массы льда:

$\Delta m_л = m_л - m'_л$

Поскольку начальная температура воды и льда равна 0 °C, вся подводимая теплота идет на плавление льда. Количество теплоты $\text{Q}$ рассчитывается по формуле:

$Q = \lambda \Delta m_л = \lambda (m_л - m'_л)$

где $\lambda$ — удельная теплота плавления льда.

Подставим числовые значения. Используем табличные данные: плотность воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$, плотность льда $\rho_л = 900 \text{ кг/м}^3$, плотность свинца $\rho_с = 11300 \text{ кг/м}^3$, удельная теплота плавления льда $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг}$.

Сначала найдем массу оставшегося льда $m'_л$:

$m'_л = 0,005 \text{ кг} \cdot \frac{11300 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \cdot \frac{900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{11300 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 0,005 \cdot \frac{10300}{100} \cdot \frac{900}{11300} = 0,005 \cdot 103 \cdot \frac{9}{113} \approx 0,041 \text{ кг}$

Теперь найдем массу растаявшего льда:

$\Delta m_л = 0,1 \text{ кг} - 0,041 \text{ кг} = 0,059 \text{ кг}$

Рассчитаем необходимое количество теплоты:

$Q = 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0,059 \text{ кг} = 19470 \text{ Дж} \approx 19,5 \text{ кДж}$

Ответ: чтобы дробинка начала тонуть, надо затратить минимальное количество тепла, равное 19,5 кДж.