Номер 100, страница 69 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Плавление, кристаллизация - номер 100, страница 69.

Условие.

100. Тигель с оловом нагревают таким образом, что количество теплоты, ежесекундно подводимое к тиглю, постоянно. За 5 мин температура олова поднялась от $10^{\circ}\text{C}$ до $50^{\circ}\text{C}$. Какое время необходимо, чтобы нагреть олово от $50^{\circ}\text{C}$ до $232^{\circ}\text{C}$ и полностью его расплавить?

Решение.

Дано:

$t_1 = 5 \text{ мин}$
$T_1 = 10 \text{ °C}$
$T_2 = 50 \text{ °C}$
$T_3 = 232 \text{ °C}$
$T_{пл} = 232 \text{ °C}$ (Температура плавления олова)
$c = 230 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (Удельная теплоемкость олова)
$\lambda = 5.9 \cdot 10^4 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ (Удельная теплота плавления олова)
$P = \text{const}$ (Мощность нагревателя постоянна)

Перевод в систему СИ:
$t_1 = 5 \cdot 60 = 300 \text{ с}$

Найти:

$t_2$ - время для нагрева олова от $T_2$ до $T_{пл}$ и его полного плавления.

Решение:

По условию, количество теплоты, подводимое к системе в единицу времени, постоянно. Это означает, что мощность нагревателя $\text{P}$ является постоянной величиной. Теплоемкостью тигля будем пренебрегать, так как в условии задачи о ней ничего не сказано.

Этап 1: Нагревание олова от температуры $T_1$ до $T_2$ за время $t_1$. Количество теплоты, необходимое для этого, вычисляется по формуле: $Q_1 = c m (T_2 - T_1)$, где $\text{m}$ – масса олова. Мощность нагревателя можно определить как: $P = \frac{Q_1}{t_1} = \frac{c m (T_2 - T_1)}{t_1}$ (1)

Этап 2: Нагревание олова от температуры $T_2$ до температуры плавления $T_3$ и его полное плавление. Время этого этапа обозначим $t_2$. Этот этап включает в себя два процесса:
1. Нагревание твердого олова от $T_2$ до $T_3$. Необходимое количество теплоты: $Q_{нагр} = c m (T_3 - T_2)$.
2. Плавление олова при температуре плавления $T_{пл} = T_3$. Необходимое количество теплоты: $Q_{пл} = \lambda m$.

Суммарное количество теплоты, необходимое на втором этапе: $Q_2 = Q_{нагр} + Q_{пл} = c m (T_3 - T_2) + \lambda m$. Это количество теплоты подводится за искомое время $t_2$ с той же мощностью $\text{P}$: $P = \frac{Q_2}{t_2} = \frac{c m (T_3 - T_2) + \lambda m}{t_2}$ (2)

Так как мощность $\text{P}$ в обоих случаях одинакова, мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (2): $\frac{c m (T_2 - T_1)}{t_1} = \frac{c m (T_3 - T_2) + \lambda m}{t_2}$

Масса олова $\text{m}$ присутствует в каждом члене уравнения, поэтому ее можно сократить: $\frac{c (T_2 - T_1)}{t_1} = \frac{c (T_3 - T_2) + \lambda}{t_2}$

Из этого соотношения выразим искомое время $t_2$: $t_2 = t_1 \cdot \frac{c (T_3 - T_2) + \lambda}{c (T_2 - T_1)}$

Теперь подставим числовые значения. Удобно оставить время $t_1$ в минутах, чтобы сразу получить ответ в минутах. $t_2 = 5 \text{ мин} \cdot \frac{230 \cdot (232 - 50) + 59000}{230 \cdot (50 - 10)}$

$t_2 = 5 \cdot \frac{230 \cdot 182 + 59000}{230 \cdot 40}$

$t_2 = 5 \cdot \frac{41860 + 59000}{9200}$

$t_2 = 5 \cdot \frac{100860}{9200}$

$t_2 = 5 \cdot 10.963... \approx 54.815 \text{ мин}$

Округляя результат до одного знака после запятой, получаем:

Ответ: 54.8 мин.