Номер 101, страница 70 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Плавление, кристаллизация - номер 101, страница 70.

Условие.

101. С какой высоты должен упасть кусок свинца, чтобы при ударе о поверхность земли он расплавился? Начальная температура свинца $-33^\circ C$, на нагревание и плавление свинца идет $70\%$ его механической энергии. Температура плавления свинца $327^\circ C$.

Решение.

Дано:

Начальная температура свинца: $t_{нач} = -33 \, \text{°C}$
Температура плавления свинца: $t_{пл} = 327 \, \text{°C}$
Доля механической энергии, идущая на нагрев и плавление: $\eta = 70\%$
Удельная теплоемкость свинца (справочное значение): $c = 130 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплота плавления свинца (справочное значение): $\lambda = 2.5 \cdot 10^4 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:
$\eta = 70\% = 0.7$

Найти:

$\text{h}$ — высота падения.

Решение:

При падении с высоты $\text{h}$ кусок свинца обладает потенциальной механической энергией $E_{мех}$. В момент перед ударом о землю эта энергия полностью переходит в кинетическую. Формула для потенциальной энергии:
$E_{мех} = mgh$
где $\text{m}$ – масса куска свинца, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $\text{h}$ – высота.

Согласно условию задачи, доля $\eta$ этой энергии идет на нагревание и плавление свинца. Количество теплоты $Q_{общ}$, необходимое для этого, состоит из двух частей:
1. Количество теплоты $Q_1$ для нагревания свинца от начальной температуры $t_{нач}$ до температуры плавления $t_{пл}$.
$Q_1 = c m (t_{пл} - t_{нач})$
2. Количество теплоты $Q_2$ для полного плавления свинца при температуре плавления.
$Q_2 = \lambda m$

Суммарное количество теплоты равно:
$Q_{общ} = Q_1 + Q_2 = c m (t_{пл} - t_{нач}) + \lambda m = m(c(t_{пл} - t_{нач}) + \lambda)$

Запишем закон сохранения энергии с учетом того, что только часть механической энергии переходит в теплоту:
$Q_{общ} = \eta \cdot E_{мех}$

Подставим выражения для $Q_{общ}$ и $E_{мех}$:
$m(c(t_{пл} - t_{нач}) + \lambda) = \eta \cdot mgh$

Масса свинца $\text{m}$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Выразим из этого уравнения искомую высоту $\text{h}$:
$h = \frac{c(t_{пл} - t_{нач}) + \lambda}{\eta g}$

Теперь подставим числовые значения в формулу:
$h = \frac{130 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (327 \, \text{°C} - (-33 \, \text{°C})) + 2.5 \cdot 10^4 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}{0.7 \cdot 9.8 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}$
$h = \frac{130 \cdot (327 + 33) + 25000}{6.86} \, \text{м}$
$h = \frac{130 \cdot 360 + 25000}{6.86} \, \text{м}$
$h = \frac{46800 + 25000}{6.86} \, \text{м}$
$h = \frac{71800}{6.86} \, \text{м} \approx 10466.47 \, \text{м}$

Округляя результат до трех значащих цифр и выражая в километрах, получаем:
$h \approx 10500 \, \text{м} = 10.5 \, \text{км}$

Ответ: кусок свинца должен упасть с высоты примерно $10.5 \, \text{км}$.