Номер 305, страница 98 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца - номер 305, страница 98.

Условие.

305. Какой длины надо взять никелевую проволоку сечением $0,84 \text{ мм}^2$, чтобы изготовить нагреватель на $220 \text{ В}$, при помощи которого можно было бы нагреть $2 \text{ кг}$ воды от $20 \text{ °С}$ до кипения за $10 \text{ мин}$ при КПД $80\%$?

Решение.

Дано:

$S = 0,84 \, \text{мм}^2 = 0,84 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2$

$U = 220 \, \text{В}$

$m = 2 \, \text{кг}$

$t_1 = 20 \, ^\circ\text{С}$

$t_2 = 100 \, ^\circ\text{С}$ (температура кипения воды)

$\tau = 10 \, \text{мин} = 600 \, \text{с}$

$\eta = 80\% = 0,8$

Удельная теплоемкость воды $c = 4200 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{С}}$

Удельное сопротивление никелина (который обычно используется для нагревателей и часто подразумевается под "никелевой проволокой" в задачах) $\\rho= 0,42 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Найти:

$\text{l}$ - ?

Решение:

1. Найдем количество теплоты (полезную работу), необходимое для нагревания воды от начальной температуры до кипения:

$Q_{полезн} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

$Q_{полезн} = 4200 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{С}} \cdot 2 \, \text{кг} \cdot (100 ^\circ\text{С} - 20 ^\circ\text{С}) = 4200 \cdot 2 \cdot 80 = 672000 \, \text{Дж}$

2. КПД (коэффициент полезного действия) нагревателя по определению равен отношению полезной работы к полной (затраченной) работе:

$\eta = \frac{Q_{полезн}}{A_{полн}}$

Отсюда найдем полную работу, которую должен совершить электрический ток в нагревателе:

$A_{полн} = \frac{Q_{полезн}}{\eta} = \frac{672000 \, \text{Дж}}{0,8} = 840000 \, \text{Дж}$

3. Работа электрического тока также определяется по закону Джоуля-Ленца:

$A_{полн} = \frac{U^2}{R} \cdot \tau$

Из этой формулы выразим необходимое сопротивление $\text{R}$ нагревателя:

$R = \frac{U^2 \cdot \tau}{A_{полн}} = \frac{(220 \, \text{В})^2 \cdot 600 \, \text{с}}{840000 \, \text{Дж}} = \frac{48400 \cdot 600}{840000} = \frac{29040000}{840000} = \frac{242}{7} \, \text{Ом} \approx 34,57 \, \text{Ом}$

4. Сопротивление проводника связано с его длиной $\text{l}$, площадью поперечного сечения $\text{S}$ и удельным сопротивлением материала $\rho$ формулой:

$R = \frac{\\rho\cdot l}{S}$

Выразим из этой формулы искомую длину проволоки $\text{l}$:

$l = \frac{R \cdot S}{\rho}$

5. Подставим значения, используя $\text{S}$ в $\text{мм}^2$ и соответствующее значение $\rho$:

$l = \frac{\frac{242}{7} \, \text{Ом} \cdot 0,84 \, \text{мм}^2}{0,42 \, \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}} = \frac{242}{7} \cdot \frac{0,84}{0,42} \, \text{м} = \frac{242}{7} \cdot 2 \, \text{м} = \frac{484}{7} \, \text{м} \approx 69,14 \, \text{м}$

Округляя до целого числа, получаем 69 м.

Ответ: для изготовления нагревателя необходимо взять никелевую проволоку длиной примерно 69 м.