Номер 310, страница 98 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца - номер 310, страница 98.

Условие.

310. К концам свинцовой проволоки длиной 1 м приложили напряжение 10 В. Какое время пройдет с начала пропускания тока до момента, когда свинец начнет плавиться? Начальная температура проволоки $20 ^{\circ}\text{C}$.

Решение.

Дано:

$l = 1$ м

$U = 10$ В

$t_1 = 20$ °C

Материал - свинец

Для решения задачи потребуются справочные данные для свинца:

Удельная теплоемкость: $c = 130$ Дж/(кг·°C)

Плотность: $\rho_{d} = 11340$ кг/м³

Удельное электрическое сопротивление (при 20 °C): $\rho_r = 0.22 \cdot 10^{-6}$ Ом·м

Температура плавления: $t_{пл} = 327.5$ °C

Найти:

$\tau$ - время до начала плавления.

Решение:

Для того чтобы свинец начал плавиться, проволоку необходимо нагреть от начальной температуры $t_1$ до температуры плавления $t_{пл}$. Количество теплоты $Q_{нагр}$, необходимое для этого, вычисляется по формуле:

$Q_{нагр} = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_1)$

где $\text{c}$ – удельная теплоемкость свинца, $\text{m}$ – масса проволоки.

Массу проволоки можно выразить через её плотность $\rho_d$ и объем $V = S \cdot l$ (где $\text{S}$ – площадь поперечного сечения, $\text{l}$ – длина):

$m = \rho_d \cdot S \cdot l$

Нагревание происходит за счет теплоты, выделяемой электрическим током, согласно закону Джоуля-Ленца. Количество выделившейся теплоты $Q_{эл}$ за время $\tau$ составляет:

$Q_{эл} = P \cdot \tau = \frac{U^2}{R} \cdot \tau$

где $\text{U}$ – напряжение, $\text{R}$ – сопротивление проволоки.

Сопротивление проволоки определяется по формуле:

$R = \rho_r \frac{l}{S}$

где $\rho_r$ – удельное сопротивление свинца.

По закону сохранения энергии, вся выделившаяся электрическая энергия идет на нагрев проволоки (пренебрегаем потерями тепла в окружающую среду):

$Q_{эл} = Q_{нагр}$

$\frac{U^2}{R} \cdot \tau = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_1)$

Подставим в это уравнение выражения для массы $\text{m}$ и сопротивления $\text{R}$:

$\frac{U^2}{\rho_r \frac{l}{S}} \cdot \tau = c \cdot (\rho_d \cdot S \cdot l) \cdot (t_{пл} - t_1)$

Упростим выражение:

$\frac{U^2 \cdot S}{\rho_r \cdot l} \cdot \tau = c \cdot \rho_d \cdot S \cdot l \cdot (t_{пл} - t_1)$

Площадь поперечного сечения $\text{S}$ сокращается. Выразим из полученного уравнения искомое время $\tau$:

$\tau = \frac{c \cdot \rho_d \cdot \rho_r \cdot l^2 \cdot (t_{пл} - t_1)}{U^2}$

Подставим числовые значения:

$\tau = \frac{130 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 11340 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.22 \cdot 10^{-6} Ом \cdot м \cdot (1 м)^2 \cdot (327.5 °C - 20 °C)}{(10 В)^2}$

$\tau = \frac{130 \cdot 11340 \cdot 0.22 \cdot 10^{-6} \cdot 1 \cdot 307.5}{100} c$

$\tau = \frac{99762150 \cdot 10^{-6}}{100} c = \frac{99.76}{100} c \approx 0.998$ c

Округляя до десятых, получаем:

$\tau \approx 1.0$ c

Ответ: пройдет примерно 1.0 с.