Номер 316, страница 99 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Прямолинейное распространение света - номер 316, страница 99.

Условие.

316. K потолку комнаты высотой 6 м прикреплена светящаяся лампа – панно в виде круга диаметром 2 м. На высоте 3 м от пола параллельно ему расположен непрозрачный квадрат со стороной 2 м. Центр панно и центр квадрата лежат на одной вертикали. Определите минимальный размер тени на полу.

Решение.

Дано:

Высота комнаты (и расположения лампы) $H = 6$ м

Диаметр лампы $D = 2$ м

Высота расположения квадрата от пола $h = 3$ м

Сторона непрозрачного квадрата $a = 2$ м

Все данные уже в системе СИ. Из диаметра лампы найдем ее радиус:

$R = D/2 = 2/2 = 1$ м

Найти:

Минимальный размер тени на полу $L_{min}$

Решение:

Тень, отбрасываемая протяженным источником света, состоит из двух областей: полной тени (умбры) и полутени (пенумбры). Полная тень — это область на поверхности, в которую свет от источника не попадает совсем. Будем искать размеры именно этой области.

Расположим систему координат так, чтобы пол находился в плоскости $z=0$, а центр лампы и центр квадрата лежали на оси $\text{z}$. Тогда лампа-панно (источник) представляет собой круг радиусом $R=1$ м в плоскости $z=H=6$ м, а непрозрачный квадрат (препятствие) — область, заданную неравенствами $|x| \le a/2$ и $|y| \le a/2$ ($|x| \le 1$ и $|y| \le 1$) в плоскости $z=h=3$ м.

Точка $P(x_p, y_p, 0)$ на полу находится в области полной тени, если из нее не видна ни одна точка источника света. Это эквивалентно тому, что для точки $\text{P}$ препятствие (квадрат) полностью заслоняет источник (лампу).

Рассмотрим эту задачу методом проекций. Точка $\text{P}$ будет в полной тени, если проекция источника света из точки $\text{P}$ на плоскость препятствия окажется полностью внутри этого препятствия.

Найдем параметры проекции. Пусть $P(x_p, y_p, 0)$ — точка наблюдения на полу. Источник света — круг радиуса $\text{R}$ в плоскости $z=H$. Препятствие — квадрат со стороной $\text{a}$ в плоскости $z=h$.

Используя подобие треугольников, можно определить радиус проекции источника ($R_{proj}$) и координаты ее центра ($C_{proj}$) на плоскости $z=h$.

Радиус проекции: $R_{proj} = R \cdot \frac{h}{H}$

Координаты центра проекции. Линия, проходящая через точку $P(x_p, y_p, 0)$ и центр источника $(0, 0, H)$, пересечет плоскость $z=h$ в точке $C_{proj}(x_c, y_c, h)$. Из подобия треугольников получаем:

$\frac{x_c}{x_p} = \frac{H-h}{H} \implies x_c = x_p \frac{H-h}{H}$

$\frac{y_c}{y_p} = \frac{H-h}{H} \implies y_c = y_p \frac{H-h}{H}$

Точка $\text{P}$ находится в области полной тени, если спроецированный круг полностью умещается внутри квадрата-препятствия. Условие того, что круг с центром $(x_c, y_c)$ и радиусом $R_{proj}$ находится внутри квадрата $|x| \le a/2, |y| \le a/2$, выглядит так:

$|x_c| + R_{proj} \le a/2$

$|y_c| + R_{proj} \le a/2$

Подставим выражения для $x_c, y_c$ и $R_{proj}$:

$|x_p \frac{H-h}{H}| + R \frac{h}{H} \le \frac{a}{2}$

$|y_p \frac{H-h}{H}| + R \frac{h}{H} \le \frac{a}{2}$

Выразим $|x_p|$ и $|y_p|$:

$|x_p| \frac{H-h}{H} \le \frac{a}{2} - R \frac{h}{H}$

$|x_p| \le \frac{\frac{a}{2} - R \frac{h}{H}}{\frac{H-h}{H}} = \frac{aH/2 - Rh}{H-h}$

Подставим числовые значения:

$H = 6$ м, $h = 3$ м, $a = 2$ м, $R = 1$ м.

$|x_p| \le \frac{2 \cdot 6 / 2 - 1 \cdot 3}{6 - 3} = \frac{6 - 3}{3} = \frac{3}{3} = 1$ м

Аналогично для $y_p$:

$|y_p| \le 1$ м

Таким образом, область полной тени на полу представляет собой квадрат со стороной $L = 2 \cdot 1 = 2$ м.

Размеры этого квадрата — это его сторона (2 м) и его диагональ ($2\sqrt{2}$ м). Минимальным размером является длина его стороны.

$L_{min} = 2$ м

Ответ: Минимальный размер тени на полу составляет 2 м.