Номер 319, страница 100 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Прямолинейное распространение света - номер 319, страница 100.

Условие.

319. На какой высоте $\text{H}$ находится лампа над горизонтальной поверхностью стола, если тень от вертикально поставленного на стол карандаша высотой 15 см оказалась равной 10 см? Расстояние от основания карандаша до основания перпендикуляра, опущенного из центра лампы на поверхность стола, 90 см.

Решение.

Дано:

Высота карандаша, $h = 15$ см

Длина тени, $l = 10$ см

Расстояние от основания карандаша до основания перпендикуляра от лампы, $d = 90$ см

$h = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$
$l = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$d = 90 \text{ см} = 0.9 \text{ м}$

Найти:

Высоту лампы над столом, $\text{H}$

Решение:

Рассмотрим геометрическую схему задачи. Свет от лампы распространяется прямолинейно, поэтому лампа, верхушка карандаша и конец тени лежат на одной прямой. Введем обозначения:

Пусть $\text{L}$ — это лампа, а $\text{O}$ — основание перпендикуляра, опущенного из лампы на стол. Тогда искомая высота лампы $H = LO$.

Пусть $\text{A}$ — основание карандаша на столе, а $\text{B}$ — его верхушка. Тогда высота карандаша $h = AB = 15$ см.

Пусть $\text{C}$ — конец тени. Тогда длина тени $l = AC = 10$ см.

Расстояние от основания карандаша до точки под лампой равно $d = OA = 90$ см.

Поскольку карандаш стоит вертикально, а высота лампы — это длина перпендикуляра к столу, то отрезки $AB$ и $LO$ параллельны друг другу ($AB \parallel LO$).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle LCO$ (образован высотой лампы и полной длиной от точки под лампой до конца тени) и $\triangle BCA$ (образован карандашом и его тенью).

Эти треугольники подобны по двум углам:

1. Угол $\text{C}$ у них общий.

2. $\angle LOC = \angle BAC = 90^{\circ}$, так как оба отрезка ($LO$ и $AB$) перпендикулярны поверхности стола.

Из подобия треугольников $\triangle LC°\sim \triangle BCA$ следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{LO}{BA} = \frac{CO}{CA}$

Подставим наши обозначения. Длина катета $CO$ большого треугольника равна сумме расстояния от карандаша до перпендикуляра и длины тени: $C°= OA + AC = d + l$.

$\frac{H}{h} = \frac{d + l}{l}$

Теперь выразим искомую высоту $\text{H}$:

$H = h \cdot \frac{d + l}{l}$

Подставим числовые значения из условия задачи (можно оставить их в сантиметрах, так как единицы измерения в дроби сократятся):

$h = 15$ см

$d = 90$ см

$l = 10$ см

$H = 15 \cdot \frac{90 + 10}{10} = 15 \cdot \frac{100}{10} = 15 \cdot 10 = 150$ см.

Высота лампы над столом составляет 150 см, или 1.5 м.

Ответ: $150$ см.