Номер 323, страница 100 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Прямолинейное распространение света - номер 323, страница 100.

Условие.

323. Электрическая лампочка помещена в матовый стеклянный шар радиусом 20 см и подвешена на высоте 5 м над полом. Под лампой на высоте 1 м от пола держат мяч радиуса 10 см. Найдите радиусы тени и полутени, отбрасываемые мячом. Оси симметрии мяча и шара совпадают.

Решение.

Дано:

Радиус матового шара (источника света), $R = 20$ см

Высота центра источника света над полом, $H = 5$ м

Высота центра мяча над полом, $h = 1$ м

Радиус мяча, $r = 10$ см

$R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$H = 5 \text{ м}$
$h = 1 \text{ м}$
$r = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Радиус тени $R_{т}$

Радиус полутени $R_{пт}$

Решение:

Поскольку источником света является матовый шар, а не точечный источник, на полу будут образовываться области тени и полутени. Оси симметрии источника и мяча совпадают, поэтому тень и полутень будут представлять собой концентрические круги. Для нахождения их радиусов рассмотрим сечение системы вертикальной плоскостью, проходящей через центры шаров. В этом сечении источник и мяч являются окружностями. Границы тени и полутени определяются лучами, касательными к обеим окружностям.

1. Радиус тени ($R_{т}$)

Тень (умбра) — это область на полу, из которой источник света не виден совсем. Граница этой области определяется внешними общими касательными к окружностям источника и мяча. Рассмотрим луч, идущий от правого края источника, касающийся правого края мяча и падающий на пол. Точки касания имеют координаты $S_R(R, H)$ и $B_R(r, h)$. Точка падения на пол имеет координату $P_т(R_т, 0)$.

Эти три точки лежат на одной прямой. Используем подобие треугольников, образованных перпендикулярами, опущенными из точек $S_R$ и $B_R$ на пол.Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{H}{R_т - R} = \frac{h}{R_т - r}$

Однако, в нашем случае $R > r$, поэтому касательные лучи сходятся. Это можно проверить, определив координаты точек $S_R(0.2, 5)$ и $B_R(0.1, 1)$. Прямая, проходящая через них, пересечет пол в точке с координатой $x < r$.

Решим уравнение относительно $R_т$:

$H(R_т - r) = h(R_т - R)$

$H \cdot R_т - H \cdot r = h \cdot R_т - h \cdot R$

$R_т(H - h) = H \cdot r - h \cdot R$

$R_т = \frac{H \cdot r - h \cdot R}{H - h}$

Подставим числовые значения:

$R_т = \frac{5 \cdot 0.1 - 1 \cdot 0.2}{5 - 1} = \frac{0.5 - 0.2}{4} = \frac{0.3}{4} = 0.075 \text{ м}$

Таким образом, радиус полной тени составляет 7.5 см.

2. Радиус полутени ($R_{пт}$)

Полутень — это область, из которой источник света виден частично. Внешняя граница полутени — это место на полу, где становится виден хотя бы край источника. Эта граница определяется внутренними общими касательными к окружностям. Рассмотрим луч, идущий от левого края источника, касающийся правого края мяча и падающий на пол. Точки касания имеют координаты $S_L(-R, H)$ и $B_R(r, h)$. Точка падения на пол имеет координату $P_{пт}(R_{пт}, 0)$.

Аналогично, из подобия треугольников получаем соотношение:

$\frac{H}{R_{пт} - (-R)} = \frac{h}{R_{пт} - r}$

$\frac{H}{R_{пт} + R} = \frac{h}{R_{пт} - r}$

Решим уравнение относительно $R_{пт}$:

$H(R_{пт} - r) = h(R_{пт} + R)$

$H \cdot R_{пт} - H \cdot r = h \cdot R_{пт} + h \cdot R$

$R_{пт}(H - h) = H \cdot r + h \cdot R$

$R_{пт} = \frac{H \cdot r + h \cdot R}{H - h}$

Подставим числовые значения:

$R_{пт} = \frac{5 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.2}{5 - 1} = \frac{0.5 + 0.2}{4} = \frac{0.7}{4} = 0.175 \text{ м}$

Таким образом, радиус внешней границы полутени составляет 17.5 см.

Ответ: радиус тени $R_т = 7.5$ см, радиус полутени (ее внешней границы) $R_{пт} = 17.5$ см.