Номер 325, страница 100 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Прямолинейное распространение света - номер 325, страница 100.

Условие.

325. Палка, стоящая вертикально на горизонтальной площадке, освещаемой солнечным светом, имеет высоту 1,2 м и отбрасывает тень длиной 0,9 м. Палку начинают медленно наклонять в направлении отбрасываемой тени так, что ее нижний конец не сдвигается с места. Длина тени при этом до определенного момента увеличивается, а потом начинает уменьшаться. Чему была равна максимальная длина тени палки?

Решение.

Дано:

Высота вертикальной палки, $h = 1,2$ м
Длина тени от вертикальной палки, $s_0 = 0,9$ м
Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Максимальную длину тени, $s_{max}$.

Решение:

1. Сначала определим угол падения солнечных лучей. Когда палка стоит вертикально, она, ее тень и солнечный луч, проходящий через верхушку палки, образуют прямоугольный треугольник. Длина палки $\text{L}$ равна ее высоте в вертикальном положении, то есть $L = h = 1,2$ м.

Пусть $\alpha$ — угол между солнечными лучами и горизонтальной поверхностью. Тогда тангенс этого угла равен: $ \tan(\alpha) = \frac{h}{s_0} = \frac{1,2 \text{ м}}{0,9 \text{ м}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} $

Этот угол $\alpha$ остается постоянным, так как положение солнца не меняется.

2. Теперь рассмотрим случай, когда палку наклоняют. Пусть палка наклонена под углом $\beta$ к горизонтальной поверхности. Нижний конец палки закреплен в начале координат (0,0). Тогда координаты ее верхнего конца будут $(L \cos(\beta), L \sin(\beta))$.

Длина тени $\text{s}$ определяется как расстояние от основания палки до точки, где солнечный луч, касающийся верхушки палки, пересекает горизонтальную поверхность.

Длину тени можно представить как сумму двух отрезков: горизонтальной проекции самой палки ($L \cos(\beta)$) и тени, отбрасываемой вертикальной составляющей высоты палки ($L \sin(\beta)$).

Длина тени от вертикальной составляющей равна $\frac{L \sin(\beta)}{\tan(\alpha)}$.

Таким образом, общая длина тени $\text{s}$ как функция угла наклона $\beta$ выражается формулой: $ s(\beta) = L \cos(\beta) + \frac{L \sin(\beta)}{\tan(\alpha)} $

3. Чтобы найти максимальную длину тени, нужно найти максимум функции $s(\beta)$. Это можно сделать, взяв производную по $\beta$ и приравняв ее к нулю. $ \frac{ds}{d\beta} = -L \sin(\beta) + \frac{L \cos(\beta)}{\tan(\alpha)} $

Приравниваем производную к нулю: $ -L \sin(\beta) + \frac{L \cos(\beta)}{\tan(\alpha)} = 0 $ $ L \sin(\beta) = \frac{L \cos(\beta)}{\tan(\alpha)} $ $ \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} = \frac{1}{\tan(\alpha)} $ $ \tan(\beta) = \cot(\alpha) $

Это условие означает, что сумма углов $\alpha + \beta = 90^\circ$. Геометрически это соответствует моменту, когда палка расположена перпендикулярно солнечным лучам. Именно в этот момент ее тень будет максимальной.

4. Рассчитаем максимальную длину тени. Проще всего это сделать, используя геометрический смысл. Когда палка перпендикулярна лучам, она, ее тень и солнечный луч образуют прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является тень $s_{max}$, а одним из катетов — сама палка $\text{L}$. Угол, противолежащий катету $\text{L}$, равен $\alpha$.

Тогда: $ \sin(\alpha) = \frac{L}{s_{max}} $ $ s_{max} = \frac{L}{\sin(\alpha)} $

Мы знаем, что $\tan(\alpha) = 4/3$. Из этого соотношения найдем $\sin(\alpha)$. Представим прямоугольный треугольник с противолежащим катетом 4 и прилежащим 3. Гипотенуза по теореме Пифагора будет равна $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Тогда $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{4}{5}$.

Теперь можем найти максимальную длину тени: $ s_{max} = \frac{L}{\sin(\alpha)} = \frac{1,2}{4/5} = \frac{1,2 \cdot 5}{4} = \frac{6}{4} = 1,5 \text{ м} $

Ответ: 1,5 м.