Номер 324, страница 100 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Прямолинейное распространение света - номер 324, страница 100.

Условие.

324. Человек, рост которого 1,7 м, идет со скоростью 1 $м/с$ по направлению к уличному фонарю. В некоторый момент времени длина тени была 1,8 м, а спустя 2 с длина стала 1,3 м. На какой высоте висит фонарь?

Решение.

Дано:

Рост человека, $h = 1,7$ м

Скорость человека, $v = 1$ м/с

Длина тени в первый момент времени, $l_1 = 1,8$ м

Длина тени во второй момент времени, $l_2 = 1,3$ м

Промежуток времени, $\Delta t = 2$ с

Найти:

Высоту фонаря, $\text{H}$ - ?

Решение:

Пусть $\text{H}$ – высота фонаря, а $\text{h}$ – рост человека. Когда человек находится на расстоянии $\text{x}$ от фонаря, длина его тени равна $\text{l}$.

В этой ситуации образуются два подобных прямоугольных треугольника. Первый – с катетами $\text{H}$ (высота фонаря) и $x+l$ (расстояние от основания фонаря до конца тени). Второй – с катетами $\text{h}$ (рост человека) и $\text{l}$ (длина тени).

Из подобия треугольников следует соотношение их катетов:

$\frac{H}{h} = \frac{x+l}{l}$

Выразим из этой формулы расстояние $\text{x}$ от человека до фонаря:

$\frac{H}{h} = 1 + \frac{x}{l}$

$\frac{x}{l} = \frac{H}{h} - 1$

$x = l \cdot (\frac{H}{h} - 1)$

Запишем это уравнение для двух моментов времени.

В первый момент времени расстояние человека до фонаря было $x_1$:

$x_1 = l_1 \cdot (\frac{H}{h} - 1) = 1,8 \cdot (\frac{H}{1,7} - 1)$

Во второй момент времени, спустя $\Delta t = 2$ с, расстояние до фонаря стало $x_2$:

$x_2 = l_2 \cdot (\frac{H}{h} - 1) = 1,3 \cdot (\frac{H}{1,7} - 1)$

За время $\Delta t$ человек прошел в направлении фонаря расстояние $\Delta x$, которое можно вычислить по формуле:

$\Delta x = v \cdot \Delta t = 1 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с} = 2$ м

Это же расстояние равно разности начального и конечного расстояний до фонаря:

$\Delta x = x_1 - x_2$

Приравняем два выражения для $\Delta x$ и подставим формулы для $x_1$ и $x_2$:

$2 = 1,8 \cdot (\frac{H}{1,7} - 1) - 1,3 \cdot (\frac{H}{1,7} - 1)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$2 = (1,8 - 1,3) \cdot (\frac{H}{1,7} - 1)$

$2 = 0,5 \cdot (\frac{H}{1,7} - 1)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $\text{H}$:

$\frac{H}{1,7} - 1 = \frac{2}{0,5}$

$\frac{H}{1,7} - 1 = 4$

$\frac{H}{1,7} = 4 + 1 = 5$

$H = 5 \cdot 1,7 = 8,5$ м

Ответ: фонарь висит на высоте 8,5 м.