Номер 322, страница 100 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Прямолинейное распространение света - номер 322, страница 100.

Условие.

322. Колышек высотой 1 м, поставленный вертикально вблизи уличного фонаря, отбрасывает тень длиной 0,8 м. Если перенести колышек на расстояние 1 м дальше от фонаря, то он будет отбрасывать тень длиной 1,25 м. На какой высоте подвешен фонарь?

Решение.

Дано:

Высота колышка, $h = 1$ м

Длина тени в первом положении, $l_1 = 0,8$ м

Смещение колышка, $\Delta x = 1$ м

Длина тени во втором положении, $l_2 = 1,25$ м

Найти:

Высоту фонаря, $\text{H}$.

Решение:

Пусть $\text{H}$ — высота фонаря, а $x_1$ — первоначальное горизонтальное расстояние от основания фонаря до колышка. В этой задаче мы можем использовать подобие треугольников.

В первом случае фонарь, верхушка колышка и конец его тени лежат на одной прямой. Образуются два подобных прямоугольных треугольника: один с катетами $\text{H}$ (высота фонаря) и $x_1 + l_1$ (расстояние от фонаря до конца тени), а другой — с катетами $\text{h}$ (высота колышка) и $l_1$ (длина тени).

Из подобия треугольников следует соотношение:

$\frac{H}{h} = \frac{x_1 + l_1}{l_1}$ (1)

Когда колышек переместили на $\Delta x = 1$ м дальше от фонаря, новое расстояние до него стало $x_2 = x_1 + \Delta x$. Длина тени стала $l_2$. Аналогично первому случаю, для второго положения получаем:

$\frac{H}{h} = \frac{x_2 + l_2}{l_2} = \frac{(x_1 + \Delta x) + l_2}{l_2}$ (2)

Поскольку левые части уравнений (1) и (2) равны (это отношение $\frac{H}{h}$), мы можем приравнять их правые части:

$\frac{x_1 + l_1}{l_1} = \frac{x_1 + \Delta x + l_2}{l_2}$

Теперь решим это уравнение относительно неизвестного расстояния $x_1$:

$l_2(x_1 + l_1) = l_1(x_1 + \Delta x + l_2)$

$l_2 x_1 + l_1 l_2 = l_1 x_1 + l_1 \Delta x + l_1 l_2$

$l_2 x_1 - l_1 x_1 = l_1 \Delta x$

$x_1(l_2 - l_1) = l_1 \Delta x$

$x_1 = \frac{l_1 \Delta x}{l_2 - l_1}$

Подставим известные числовые значения:

$x_1 = \frac{0,8 \text{ м} \cdot 1 \text{ м}}{1,25 \text{ м} - 0,8 \text{ м}} = \frac{0,8}{0,45} \text{ м} = \frac{80}{45} \text{ м} = \frac{16}{9} \text{ м}$

Теперь, зная $x_1$, мы можем найти высоту фонаря $\text{H}$ из уравнения (1):

$H = h \cdot \frac{x_1 + l_1}{l_1} = h \cdot (\frac{x_1}{l_1} + 1)$

Подставим значения $\text{h}$, $x_1$ и $l_1$:

$H = 1 \text{ м} \cdot (\frac{16/9 \text{ м}}{0,8 \text{ м}} + 1) = (\frac{16/9}{4/5} + 1) \text{ м}$

$H = (\frac{16}{9} \cdot \frac{5}{4} + 1) \text{ м} = (\frac{4 \cdot 5}{9} + 1) \text{ м} = (\frac{20}{9} + \frac{9}{9}) \text{ м} = \frac{29}{9} \text{ м}$

Ответ: $H = \frac{29}{9}$ м, что составляет приблизительно $3,22$ м.