Номер 313, страница 99 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца - номер 313, страница 99.

Условие.

313. Два сопротивления подключают к источнику тока сначала параллельно, а затем последовательно. При параллельном подключении сила тока в неразветвленной части цепи равна 4 А, во внешней цепи выделилась мощность 144 Вт. При последовательном соединении выделилась мощность 36 Вт при силе тока 1 А. Найдите величины этих сопротивлений.

Решение.

Дано:

Параллельное подключение:
Сила тока в неразветвленной части цепи: $I_п = 4$ А
Мощность во внешней цепи: $P_п = 144$ Вт
Последовательное соединение:
Сила тока в цепи: $I_{пос} = 1$ А
Мощность во внешней цепи: $P_{пос} = 36$ Вт

Найти:

Величины сопротивлений $R_1$ и $R_2$.

Решение:

Обозначим искомые величины сопротивлений как $R_1$ и $R_2$.

1. Сначала рассмотрим случай последовательного соединения двух сопротивлений. Общее сопротивление внешней цепи $R_{пос}$ равно сумме сопротивлений:

$R_{пос} = R_1 + R_2$

Мощность, которая выделяется во внешней цепи, вычисляется по формуле $P = I^2 R$. Для последовательного соединения имеем:

$P_{пос} = I_{пос}^2 R_{пос}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$36 \text{ Вт} = (1 \text{ А})^2 \cdot (R_1 + R_2)$

Из этого выражения получаем первое уравнение для нахождения неизвестных сопротивлений:

$R_1 + R_2 = 36$ Ом (1)

2. Теперь рассмотрим случай параллельного подключения. Общее сопротивление внешней цепи $R_п$ в этом случае вычисляется по формуле:

$R_п = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Мощность, выделяемая во внешней цепи при параллельном подключении, равна:

$P_п = I_п^2 R_п$

Подставим известные значения:

$144 \text{ Вт} = (4 \text{ А})^2 \cdot R_п$

$144 = 16 \cdot R_п$

Отсюда находим общее сопротивление при параллельном подключении:

$R_п = \frac{144}{16} = 9$ Ом

Используя формулу для $R_п$, получаем второе уравнение:

$\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 9$ Ом (2)

3. Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $R_1$ и $R_2$:

$\begin{cases} R_1 + R_2 = 36 \\ \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 9 \end{cases}$

Подставим значение суммы $R_1 + R_2$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$\frac{R_1 R_2}{36} = 9$

Отсюда находим произведение сопротивлений:

$R_1 R_2 = 9 \cdot 36 = 324$

Теперь система уравнений для нахождения $R_1$ и $R_2$ имеет вид:

$\begin{cases} R_1 + R_2 = 36 \\ R_1 R_2 = 324 \end{cases}$

Такая система означает, что $R_1$ и $R_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (R_1 + R_2)x + R_1 R_2 = 0$ (согласно теореме Виета). Подставим найденные значения суммы и произведения сопротивлений:

$x^2 - 36x + 324 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 324 = 1296 - 1296 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень (или два одинаковых корня):

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-36)}{2 \cdot 1} = \frac{36}{2} = 18$

Следовательно, оба сопротивления имеют одинаковую величину: $R_1 = R_2 = 18$ Ом.

Ответ: величины этих сопротивлений равны 18 Ом и 18 Ом.