Номер 314, страница 99 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца - номер 314, страница 99.

Условие.

314. Электрочайник закипает через 15 мин после включения в сеть. Нагревательный элемент намотан из проволоки длиной 6 м. Какой длины должна быть проволока нагревательного элемента, чтобы тот же чайник закипел через 10 мин?

Решение.

Дано:

$t_1 = 15 \text{ мин} = 15 \cdot 60 \text{ с} = 900 \text{ с}$

$l_1 = 6 \text{ м}$

$t_2 = 10 \text{ мин} = 10 \cdot 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$

Найти:

$l_2$ - ?

Решение:

Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для того, чтобы вскипятить воду в чайнике, в обоих случаях одинаково, так как по условию задачи "тот же чайник" (предполагаем, что масса воды, ее начальная температура и тепловые потери одинаковы).

Количество теплоты, выделяемое нагревательным элементом, можно найти по закону Джоуля-Ленца:

$Q = P \cdot t$

где $\text{P}$ — это мощность нагревателя, а $\text{t}$ — время нагрева.

Мощность нагревательного элемента, подключенного к сети с постоянным напряжением $\text{U}$, зависит от его сопротивления $\text{R}$ следующим образом:

$P = \frac{U^2}{R}$

Сопротивление $\text{R}$ проволоки прямо пропорционально ее длине $\text{l}$ и обратно пропорционально площади поперечного сечения $\text{S}$:

$R = \\rho\frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала проволоки. Так как материал и толщина проволоки не меняются, $\rho$ и $\text{S}$ являются постоянными величинами.

Подставим выражения для мощности и сопротивления в формулу для количества теплоты:

$Q = \frac{U^2}{R} t = \frac{U^2}{(\\rho\frac{l}{S})} t = \frac{U^2 S}{\\rhol} t$

Запишем это уравнение для первого и второго случаев:

Для первого случая: $Q_1 = \frac{U^2 S}{\\rhol_1} t_1$

Для второго случая: $Q_2 = \frac{U^2 S}{\\rhol_2} t_2$

Поскольку количество теплоты, необходимое для закипания, одинаково ($Q_1 = Q_2$), мы можем приравнять правые части этих уравнений:

$\frac{U^2 S}{\\rhol_1} t_1 = \frac{U^2 S}{\\rhol_2} t_2$

Так как напряжение сети $\text{U}$, удельное сопротивление $\rho$ и площадь сечения $\text{S}$ не меняются, мы можем сократить постоянный множитель $\frac{U^2 S}{\rho}$:

$\frac{t_1}{l_1} = \frac{t_2}{l_2}$

Из этого соотношения выразим искомую длину проволоки $l_2$:

$l_2 = l_1 \cdot \frac{t_2}{t_1}$

Подставим известные значения. Обратите внимание, что время можно подставлять в минутах, так как единицы измерения в дроби сократятся:

$l_2 = 6 \text{ м} \cdot \frac{10 \text{ мин}}{15 \text{ мин}} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4 \text{ м}$

Чтобы чайник закипал быстрее, его мощность должна быть больше. Мощность $P = U^2/R$ обратно пропорциональна сопротивлению $\text{R}$. Сопротивление $\text{R}$, в свою очередь, прямо пропорционально длине проволоки $\text{l}$. Таким образом, для увеличения мощности нужно уменьшить длину проволоки, что и подтверждает наш расчет.

Ответ: чтобы тот же чайник закипел через 10 минут, длина проволоки нагревательного элемента должна быть 4 м.