Номер 311, страница 98 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

8 класс. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца - номер 311, страница 98.

Условие.

311. У электрического самовара два нагревательных элемента. Если включить первый из них, то полный самовар закипит через время $t_1 = 30$ мин, если второй – то через $t_2 = 15$ мин. Через какое время закипит самовар, если элементы включить: а) последовательно, б) параллельно?

Решение.

Дано:

$t_1 = 30$ мин

$t_2 = 15$ мин

$t_1 = 30 \cdot 60 = 1800$ с
$t_2 = 15 \cdot 60 = 900$ с

Найти:

$t_a$ — время закипания при последовательном соединении

$t_б$ — время закипания при параллельном соединении

Решение:

Пусть $\text{Q}$ — количество теплоты, необходимое для закипания полного самовара воды. Это значение постоянно во всех случаях. Напряжение сети $\text{U}$ также постоянно.

Количество теплоты, выделяемое нагревательным элементом, можно найти по закону Джоуля-Ленца: $Q = P \cdot t$, где $\text{P}$ — мощность нагревателя, а $\text{t}$ — время его работы.

Мощность нагревателя зависит от его сопротивления $\text{R}$ и напряжения в сети $\text{U}$ по формуле: $P = \frac{U^2}{R}$.

Объединив эти формулы, получим: $Q = \frac{U^2}{R} \cdot t$.

Для первого нагревателя с сопротивлением $R_1$: $Q = \frac{U^2}{R_1} \cdot t_1$. Отсюда $R_1 = \frac{U^2 \cdot t_1}{Q}$.

Для второго нагревателя с сопротивлением $R_2$: $Q = \frac{U^2}{R_2} \cdot t_2$. Отсюда $R_2 = \frac{U^2 \cdot t_2}{Q}$.

а) последовательно

При последовательном соединении общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных элементов: $R_a = R_1 + R_2$.

Время закипания $t_a$ при последовательном соединении можно найти из той же формулы для количества теплоты:

$Q = \frac{U^2}{R_a} \cdot t_a = \frac{U^2}{R_1 + R_2} \cdot t_a$.

Выразим время $t_a$:

$t_a = \frac{Q \cdot (R_1 + R_2)}{U^2} = \frac{Q \cdot R_1}{U^2} + \frac{Q \cdot R_2}{U^2}$.

Так как $\frac{Q \cdot R_1}{U^2} = t_1$ и $\frac{Q \cdot R_2}{U^2} = t_2$, получаем:

$t_a = t_1 + t_2$.

Подставим числовые значения:

$t_a = 30 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 45 \text{ мин}$.

Ответ: 45 мин.

б) параллельно

При параллельном соединении напряжение на каждом элементе равно напряжению сети $\text{U}$. Общая мощность $P_б$ равна сумме мощностей каждого элемента: $P_б = P_1 + P_2$.

Мощность первого элемента $P_1 = \frac{Q}{t_1}$, а второго $P_2 = \frac{Q}{t_2}$.

Время закипания $t_б$ при параллельном соединении определяется из соотношения: $Q = P_б \cdot t_б$.

$Q = (P_1 + P_2) \cdot t_б$.

Подставим выражения для мощностей:

$Q = \left(\frac{Q}{t_1} + \frac{Q}{t_2}\right) \cdot t_б$.

Сократив $\text{Q}$, получим:

$1 = \left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right) \cdot t_б$.

Отсюда выразим $t_б$:

$t_б = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{1}{\frac{t_2 + t_1}{t_1 t_2}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$.

Подставим числовые значения:

$t_б = \frac{30 \cdot 15}{30 + 15} = \frac{450}{45} = 10 \text{ мин}$.

Ответ: 10 мин.