Номер 108, страница 124 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Законы Ньютона - номер 108, страница 124.

Условие.

108. Автомобиль трогается с места с ускорением $2 \text{ м/с}^2$. При скорости $50 \text{ км/ч}$ ускорение автомобиля стало равным $1 \text{ м/с}^2$. С какой установившейся скоростью будет двигаться автомобиль, если сила сопротивления движению пропорциональна скорости? Силу тяги двигателя при движении считать постоянной.

Решение.

Дано:

Начальное ускорение (при $v_0 = 0$): $a_0 = 2 \, м/с^2$

Скорость: $v_1 = 50 \, км/ч$

Ускорение при скорости $v_1$: $a_1 = 1 \, м/с^2$

Сила сопротивления пропорциональна скорости: $F_{сопр} = k \cdot v$

Сила тяги двигателя постоянна: $F_{тяги} = \text{const}$

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 50 \, км/ч = 50 \cdot \frac{1000 \, м}{3600 \, с} = \frac{500}{36} \, м/с = \frac{125}{9} \, м/с$

Найти:

Установившаяся скорость $v_{уст}$

Решение:

Запишем второй закон Ньютона для автомобиля. Равнодействующая сила, действующая на автомобиль, равна разности силы тяги двигателя и силы сопротивления движению:

$m \cdot a = F_{тяги} - F_{сопр}$

где $\text{m}$ — масса автомобиля, $\text{a}$ — его ускорение.

По условию, сила сопротивления пропорциональна скорости ($F_{сопр} = k \cdot v$, где $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности), а сила тяги $F_{тяги}$ постоянна.

Тогда уравнение движения принимает вид:

$m \cdot a = F_{тяги} - k \cdot v$

Рассмотрим три ключевых состояния движения автомобиля:

1. В начальный момент, когда автомобиль трогается с места, его скорость $v_0 = 0$, а ускорение $a_0 = 2 \, м/с^2$. Сила сопротивления в этот момент равна нулю:

$m \cdot a_0 = F_{тяги} - k \cdot 0$

$F_{тяги} = m \cdot a_0 \quad (1)$

2. При достижении скорости $v_1 = 50 \, км/ч$, ускорение становится $a_1 = 1 \, м/с^2$. Уравнение движения для этого момента:

$m \cdot a_1 = F_{тяги} - k \cdot v_1 \quad (2)$

3. Установившаяся скорость $v_{уст}$ достигается тогда, когда движение становится равномерным, то есть ускорение $a = 0$. В этом случае сила тяги уравновешивается силой сопротивления:

$m \cdot 0 = F_{тяги} - k \cdot v_{уст}$

$F_{тяги} = k \cdot v_{уст} \quad (3)$

Теперь решим полученную систему уравнений.

Подставим выражение для $F_{тяги}$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$m \cdot a_1 = m \cdot a_0 - k \cdot v_1$

Из этого уравнения выразим коэффициент сопротивления $\text{k}$:

$k \cdot v_1 = m \cdot a_0 - m \cdot a_1 = m(a_0 - a_1)$

$k = \frac{m(a_0 - a_1)}{v_1}$

Теперь подставим выражения для $F_{тяги}$ из (1) и для $\text{k}$ в уравнение (3):

$m \cdot a_0 = \frac{m(a_0 - a_1)}{v_1} \cdot v_{уст}$

Массу автомобиля $\text{m}$ можно сократить:

$a_0 = \frac{a_0 - a_1}{v_1} \cdot v_{уст}$

Выразим искомую установившуюся скорость $v_{уст}$:

$v_{уст} = v_1 \cdot \frac{a_0}{a_0 - a_1}$

Подставим числовые значения. Для удобства можно использовать скорость $v_1$ в км/ч, так как она является множителем, и ответ также будет получен в км/ч.

$v_{уст} = 50 \, км/ч \cdot \frac{2 \, м/с^2}{2 \, м/с^2 - 1 \, м/с^2} = 50 \, км/ч \cdot \frac{2}{1} = 100 \, км/ч$

Для проверки выполним расчеты в системе СИ:

$v_{уст} = \frac{125}{9} \, м/с \cdot \frac{2 \, м/с^2}{2 \, м/с^2 - 1 \, м/с^2} = \frac{125}{9} \, м/с \cdot 2 = \frac{250}{9} \, м/с$

Переведем результат обратно в км/ч:

$v_{уст} = \frac{250}{9} \, м/с \cdot 3.6 \, \frac{км/ч}{м/с} = 250 \cdot 0.4 \, км/ч = 100 \, км/ч$

Результаты совпадают.

Ответ: установившаяся скорость автомобиля будет равна $100 \, км/ч$.