Номер 103, страница 123 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Законы Ньютона - номер 103, страница 123.

Условие.

103. Два тела массами 80 и 100 г прикреплены к концам невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок. Какие ускорения приобретут тела, если их отпустить?

Решение.

Дано:

$m_1 = 80 \text{ г} = 0.08 \text{ кг}$

$m_2 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Ускорение тел $\text{a}$.

Решение:

Эта система из двух тел, связанных нитью и перекинутых через блок, называется машиной Атвуда. Поскольку массы тел различны ($m_2 > m_1$), при освобождении система придет в движение. Тело с большей массой ($m_2$) будет опускаться, а тело с меньшей массой ($m_1$) — подниматься. Так как нить нерастяжима, оба тела будут двигаться с одинаковым по модулю ускорением $\text{a}$.

Рассмотрим силы, действующие на каждое тело. На каждое тело действует сила тяжести ($m_1g$ и $m_2g$), направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити ($\text{T}$), направленная вертикально вверх. Так как нить невесома и блок идеальный (без трения), сила натяжения нити одинакова по всей ее длине.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на вертикальную ось. Направим ось OY для тела $m_1$ вверх, а для тела $m_2$ — вниз, чтобы проекция ускорения была положительной для обоих тел.

Для тела с массой $m_1$ (движется вверх):

$T - m_1g = m_1a$

Для тела с массой $m_2$ (движется вниз):

$m_2g - T = m_2a$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($\text{a}$ и $\text{T}$). Для нахождения ускорения $\text{a}$ сложим эти два уравнения:

$(T - m_1g) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$

Сила натяжения $\text{T}$ сокращается:

$m_2g - m_1g = a(m_1 + m_2)$

$g(m_2 - m_1) = a(m_1 + m_2)$

Выразим ускорение $\text{a}$:

$a = g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$a = 9.8 \cdot \frac{0.1 - 0.08}{0.08 + 0.1} = 9.8 \cdot \frac{0.02}{0.18} = 9.8 \cdot \frac{1}{9} \approx 1.09 \text{ м/с}^2$

Ускорения обоих тел равны по модулю, но противоположны по направлению.

Ответ: тела приобретут ускорение, равное по модулю $a \approx 1.09 \text{ м/с}^2$.