Номер 106, страница 123 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Законы Ньютона - номер 106, страница 123.

Условие.

106. Два рыбака тянут к берегу лодку, действуя на нее с постоянными силами. Если бы ее тянул лишь первый рыбак, она подошла бы к берегу со скоростью 0,3 м/с, если бы ее тянул только второй – со скоростью 0,4 м/с. С какой скоростью подойдет лодка к берегу, когда ее потянут оба рыбака? Сопротивление воды не учитывать. Во всех случаях лодка проходит одинаковый путь в направлении действия сил.

Решение.

Дано:

$v_1 = 0,3 \text{ м/с}$

$v_2 = 0,4 \text{ м/с}$

$S_1 = S_2 = S_{12} = S$ (путь одинаков во всех случаях)

$v_0 = 0$ (лодка начинает движение из состояния покоя)

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Поскольку силы, с которыми рыбаки тянут лодку, постоянны, а сопротивление воды не учитывается, движение лодки является равноускоренным. Для решения задачи воспользуемся теоремой о кинетической энергии, которая гласит, что работа, совершаемая всеми силами, действующими на тело, равна изменению его кинетической энергии: $A = \Delta E_k$.

Так как лодка начинает движение из состояния покоя, её начальная кинетическая энергия равна нулю. Следовательно, изменение кинетической энергии равно её конечной кинетической энергии: $\Delta E_k = \frac{mv^2}{2}$, где $\text{m}$ — масса лодки, а $\text{v}$ — её конечная скорость.

Работа силы $\text{F}$ на пути $\text{S}$ вычисляется по формуле $A = F \cdot S$, так как силы направлены вдоль перемещения.

Рассмотрим три случая:

1. Лодку тянет только первый рыбак с силой $F_1$.

Работа, совершённая первым рыбаком, равна $A_1 = F_1 S$.

Согласно теореме о кинетической энергии: $A_1 = \frac{mv_1^2}{2}$.

Следовательно, $F_1 S = \frac{mv_1^2}{2}$ (1)

2. Лодку тянет только второй рыбак с силой $F_2$.

Работа, совершённая вторым рыбаком, равна $A_2 = F_2 S$.

Согласно теореме о кинетической энергии: $A_2 = \frac{mv_2^2}{2}$.

Следовательно, $F_2 S = \frac{mv_2^2}{2}$ (2)

3. Лодку тянут оба рыбака одновременно.

Поскольку силы действуют в одном направлении, их результирующая сила равна сумме этих сил: $F_{общ} = F_1 + F_2$.

Общая работа, совершённая обоими рыбаками, равна $A_{общ} = F_{общ} S = (F_1 + F_2)S = F_1S + F_2S$.

Конечная кинетическая энергия лодки в этом случае будет $\frac{mv^2}{2}$, где $\text{v}$ — искомая скорость.

Таким образом, $A_{общ} = \frac{mv^2}{2}$ или $(F_1 + F_2)S = \frac{mv^2}{2}$ (3)

Теперь подставим выражения для работ $F_1S$ и $F_2S$ из уравнений (1) и (2) в уравнение (3):

$\frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{m}{2}$:

$v_1^2 + v_2^2 = v^2$

Выразим искомую скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{(0,3)^2 + (0,4)^2} = \sqrt{0,09 + 0,16} = \sqrt{0,25} = 0,5 \text{ м/с}$

Ответ: скорость лодки, когда её тянут оба рыбака, будет равна $0,5 \text{ м/с}$.