Номер 100, страница 122 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Законы Ньютона - номер 100, страница 122.

Условие.

100. Веревка выдерживает груз 110 кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой 690 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса груза, который можно поднимать на этой веревке с постоянной скоростью?

Решение.

Дано:

Масса груза при подъеме с ускорением $\text{a}$: $m_1 = 110$ кг

Масса груза при опускании с ускорением $\text{a}$: $m_2 = 690$ кг

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Максимальная масса груза $\text{m}$, который можно поднимать с постоянной скоростью.

Решение:

Пусть $T_{max}$ — максимальная сила натяжения, которую выдерживает веревка. Эта сила достигается в обоих описанных случаях: при подъеме груза массой $m_1$ и при опускании груза массой $m_2$.

1. Рассмотрим случай подъема груза массой $m_1$ с ускорением $\text{a}$, направленным вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение. На груз действуют сила натяжения $T_{max}$ (вверх) и сила тяжести $m_1g$ (вниз).

$T_{max} - m_1g = m_1a$

Отсюда выразим максимальную силу натяжения:

$T_{max} = m_1(g + a)$ (1)

2. Рассмотрим случай опускания груза массой $m_2$ с ускорением $\text{a}$, направленным вниз. На груз действуют сила натяжения $T_{max}$ (вверх) и сила тяжести $m_2g$ (вниз). Направим ось OY вниз, тогда:

$m_2g - T_{max} = m_2a$

Отсюда также выразим максимальную силу натяжения:

$T_{max} = m_2(g - a)$ (2)

3. Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $T_{max}$ и $\text{a}$. Приравняем правые части уравнений (1) и (2), чтобы найти ускорение $\text{a}$:

$m_1(g + a) = m_2(g - a)$

$m_1g + m_1a = m_2g - m_2a$

$m_1a + m_2a = m_2g - m_1g$

$a(m_1 + m_2) = g(m_2 - m_1)$

$a = g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$

4. Теперь найдем максимальную силу натяжения $T_{max}$, подставив выражение для $\text{a}$ в уравнение (1):

$T_{max} = m_1 \left( g + g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) = m_1g \left( 1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right)$

$T_{max} = m_1g \left( \frac{m_1 + m_2 + m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) = m_1g \left( \frac{2m_2}{m_1 + m_2} \right) = \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2}$

5. Найдем максимальную массу груза $\text{m}$, который можно поднимать с постоянной скоростью. Движение с постоянной скоростью означает, что ускорение равно нулю ($a=0$). В этом случае сила натяжения веревки уравновешивает силу тяжести. Чтобы найти максимальную массу, сила натяжения должна быть равна $T_{max}$.

$T_{max} = mg$

Отсюда, $m = \frac{T_{max}}{g}$

Подставим найденное ранее выражение для $T_{max}$:

$m = \frac{1}{g} \left( \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2} \right) = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}$

6. Подставим числовые значения:

$m = \frac{2 \cdot 110 \text{ кг} \cdot 690 \text{ кг}}{110 \text{ кг} + 690 \text{ кг}} = \frac{151800 \text{ кг}^2}{800 \text{ кг}} = \frac{1518}{8} \text{ кг} = 189.75 \text{ кг}$

Ответ: 189.75 кг.