Номер 107, страница 123 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Законы Ньютона - номер 107, страница 123.

Условие.

107. К покоящемуся на горизонтальной поверхности телу приложена равномерно возрастающая сила, направленная под углом 30° к горизонту. Определите модуль ускорения тела в момент отрыва от поверхности.

Решение.

Дано:

Угол, под которым приложена сила к горизонту, $\alpha = 30^\circ$.

Найти:

Модуль ускорения тела в момент отрыва от поверхности, $\text{a}$.

Решение:

На тело, находящееся на горизонтальной поверхности, действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх, приложенная сила $\vec{F}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту, и сила трения $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально (если тело движется или пытается двигаться).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Направим ось OX горизонтально, а ось OY – вертикально вверх.

Проекция на ось OY:

$N + F \sin\alpha - mg = ma_y$

Проекция на ось OX:

$F \cos\alpha - F_{тр} = ma_x$

Момент отрыва тела от поверхности характеризуется тем, что сила реакции опоры обращается в ноль, то есть $N=0$. В этот самый момент вертикальная составляющая ускорения тела также равна нулю ($a_y=0$), так как тело только начинает отрываться от поверхности.

Подставим условие отрыва $N=0$ и $a_y=0$ в уравнение для оси OY, чтобы найти величину силы $\text{F}$ в этот момент (обозначим её $F_{отр}$):

$0 + F_{отр} \sin\alpha - mg = 0$

Из этого уравнения выразим модуль силы $F_{отр}$:

$F_{отр} = \frac{mg}{\sin\alpha}$

Сила трения (как скольжения, так и покоя) пропорциональна силе нормальной реакции опоры. Поскольку в момент отрыва $N=0$, сила трения также становится равной нулю: $F_{тр}=0$.

Теперь рассмотрим уравнение движения вдоль оси OX в момент отрыва. Подставим в него $F = F_{отр}$ и $F_{тр}=0$:

$F_{отр} \cos\alpha = ma_x$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $F_{отр}$:

$\left(\frac{mg}{\sin\alpha}\right) \cos\alpha = ma_x$

Массу тела $\text{m}$ можно сократить:

$g \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = a_x$

Используя определение котангенса $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, получаем выражение для горизонтальной составляющей ускорения:

$a_x = g \cot\alpha$

Поскольку в момент отрыва вертикальная составляющая ускорения $a_y=0$, модуль полного ускорения тела $\text{a}$ равен его горизонтальной составляющей $a_x$.

$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(g \cot\alpha)^2 + 0^2} = g \cot\alpha$

Подставим заданное значение угла $\alpha = 30^\circ$:

$a = g \cot(30^\circ)$

Зная, что $\cot(30^\circ) = \sqrt{3}$, получаем окончательный ответ:

$a = g\sqrt{3}$

Ответ: Модуль ускорения тела в момент отрыва от поверхности равен $g\sqrt{3}$.