Номер 104, страница 123 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Законы Ньютона - номер 104, страница 123.

Условие.

104. Две гири неравной массы висят на концах нити, перекинутой через невесомый блок. Более легкая гиря расположена на 2 м ниже более тяжелой. Если предоставить гирям возможность двигаться под действием силы тяжести, то через 2 с они будут на одной высоте. Определите отношение масс гирь.

Решение.

Дано:

Начальная разность высот, $\Delta h = 2$ м
Время движения, $t = 2$ с
Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с

Найти:

Отношение масс гирь, $\frac{m_2}{m_1}$

Решение:

Пусть $m_1$ — масса более легкой гири, а $m_2$ — масса более тяжелой. В начальный момент времени легкая гиря ($m_1$) находится на $\Delta h = 2$ м ниже тяжелой ($m_2$).

Когда гири отпускают, они начинают двигаться с одинаковым по модулю ускорением $\text{a}$. Тяжелая гиря опускается, а легкая поднимается. Через время $\text{t}$ они окажутся на одной высоте. Это означает, что легкая гиря должна подняться на расстояние $\text{s}$, а тяжелая опуститься на то же расстояние $\text{s}$. Чтобы высоты сравнялись, начальная разность высот должна быть покрыта суммарным перемещением гирь: $s + s = \Delta h$.

Найдем расстояние $\text{s}$, которое прошла каждая гиря:

$s = \frac{\Delta h}{2} = \frac{2 \text{ м}}{2} = 1 \text{ м}$

Поскольку гири начинают движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), путь, пройденный при равноускоренном движении, определяется формулой:

$s = \frac{at^2}{2}$

Из этой формулы мы можем выразить и рассчитать ускорение системы $\text{a}$:

$a = \frac{2s}{t^2} = \frac{2 \cdot 1 \text{ м}}{(2 \text{ с})^2} = \frac{2}{4} \text{ м/с}^2 = 0.5 \text{ м/с}^2$

Теперь применим второй закон Ньютона для каждой гири. Обозначим силу натяжения нити как $\text{T}$. Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Для легкой гири $m_1$, движущейся вверх, уравнение движения имеет вид:

$T - m_1 g = m_1 a$

Для тяжелой гири $m_2$, движущейся вниз, уравнение движения:

$m_2 g - T = m_2 a$

Мы получили систему из двух уравнений. Выразим $\text{T}$ из первого уравнения: $T = m_1(g+a)$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$m_2 g - m_1(g+a) = m_2 a$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие $m_1$ и $m_2$:

$m_2 g - m_2 a = m_1 g + m_1 a$

$m_2 (g-a) = m_1 (g+a)$

Из этого соотношения находим искомое отношение масс (массы тяжелой гири к массе легкой):

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{g+a}{g-a}$

Подставим числовые значения $a=0.5 \text{ м/с}^2$ и $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{9.8 + 0.5}{9.8 - 0.5} = \frac{10.3}{9.3} \approx 1.11$

Ответ: 1.11