Номер 105, страница 123 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Законы Ньютона - номер 105, страница 123.

Условие.

105. Тело, брошенное вертикально вверх, возвратилось в точку бросания. Определите отношение времени спуска ко времени подъема, если масса тела равна 0,5 кг, а сила сопротивления 3 Н.

Решение.

Дано:

Масса тела, $m = 0,5$ кг

Сила сопротивления, $F_{сопр} = 3$ Н

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$ (принимаем для удобства расчетов)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Отношение времени спуска ко времени подъема: $\frac{t_{спуска}}{t_{подъема}}$

Решение:

Рассмотрим движение тела на двух этапах: подъем и спуск. Сила сопротивления воздуха всегда направлена против скорости движения.

1. Движение вверх (подъем)

При движении тела вверх на него действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $mg$ и сила сопротивления $F_{сопр}$. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщит телу ускорение $a_1$. В проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$-mg - F_{сопр} = -ma_1$

Отсюда находим модуль ускорения тела при подъеме $a_1$:

$a_1 = g + \frac{F_{сопр}}{m}$

Тело движется равнозамедленно. Максимальная высота подъема $\text{h}$ связана со временем подъема $t_{подъема}$ соотношением для равноускоренного движения (при конечной скорости, равной нулю):

$h = \frac{a_1 t_{подъема}^2}{2}$

2. Движение вниз (спуск)

При движении тела вниз на него действуют две силы, направленные в противоположные стороны: сила тяжести $mg$ (вниз) и сила сопротивления $F_{сопр}$ (вверх). Проверим, будет ли тело падать с ускорением: $mg = 0,5 \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 5$ Н. Так как сила тяжести $\text{5}$ Н больше силы сопротивления $\text{3}$ Н, тело будет падать с ускорением $a_2$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ту же ось (вверх):

$F_{сопр} - mg = -ma_2$

Отсюда находим модуль ускорения тела при спуске $a_2$:

$a_2 = g - \frac{F_{сопр}}{m}$

Тело движется равноускоренно из состояния покоя с высоты $\text{h}$. Пройденный путь $\text{h}$ связан со временем спуска $t_{спуска}$ соотношением:

$h = \frac{a_2 t_{спуска}^2}{2}$

3. Нахождение отношения времен

Так как высота подъема и спуска одинакова, мы можем приравнять выражения для $\text{h}$:

$\frac{a_1 t_{подъема}^2}{2} = \frac{a_2 t_{спуска}^2}{2}$

$a_1 t_{подъема}^2 = a_2 t_{спуска}^2$

Выразим искомое отношение:

$\frac{t_{спуска}^2}{t_{подъема}^2} = \frac{a_1}{a_2}$

$\frac{t_{спуска}}{t_{подъема}} = \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}$

Подставим выражения для ускорений $a_1$ и $a_2$:

$\frac{t_{спуска}}{t_{подъема}} = \sqrt{\frac{g + \frac{F_{сопр}}{m}}{g - \frac{F_{сопр}}{m}}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$a_1 = 10 \frac{м}{с^2} + \frac{3 \text{ Н}}{0,5 \text{ кг}} = 10 + 6 = 16 \frac{м}{с^2}$

$a_2 = 10 \frac{м}{с^2} - \frac{3 \text{ Н}}{0,5 \text{ кг}} = 10 - 6 = 4 \frac{м}{с^2}$

Найдем отношение времен:

$\frac{t_{спуска}}{t_{подъема}} = \sqrt{\frac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2$

Ответ: отношение времени спуска ко времени подъема равно 2.