Номер 161, страница 130 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 161, страница 130.

Условие.

161. Камень падает в шахту. Через 6 с слышен стук камня о дно шахты. Определите глубину шахты, если скорость звука составляет 300 м/с.

Решение.

Дано:

Общее время от момента падения камня до момента, когда был услышан звук удара: $t = 6$ с.

Скорость звука в воздухе: $v_{зв} = 300$ м/с.

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с².

Найти:

Глубину шахты $\text{h}$.

Решение:

Общее время $\text{t}$ состоит из двух промежутков: времени падения камня до дна шахты ($t_1$) и времени, за которое звук от удара распространился от дна шахты до наблюдателя ($t_2$).

$t = t_1 + t_2$

1. Падение камня является свободным падением без начальной скорости. Глубина шахты $\text{h}$ связана со временем падения $t_1$ следующей формулой:

$h = \frac{gt_1^2}{2}$

Из этой формулы выразим время падения камня $t_1$:

$t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

2. Звук распространяется равномерно с постоянной скоростью $v_{зв}$. Время распространения звука $t_2$ на расстояние, равное глубине шахты $\text{h}$, находится по формуле:

$t_2 = \frac{h}{v_{зв}}$

3. Теперь подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в исходное уравнение для общего времени:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v_{зв}}$

Мы получили уравнение с одной неизвестной $\text{h}$. Подставим в него числовые значения из условия задачи:

$6 = \sqrt{\frac{2h}{9.8}} + \frac{h}{300}$

Это уравнение можно решить относительно $\text{h}$. Для удобства введем замену переменной: пусть $x = \sqrt{h}$, тогда $h = x^2$. Уравнение примет вид:

$6 = \sqrt{\frac{2}{9.8}}x + \frac{x^2}{300}$

$6 \approx \sqrt{0.204}x + \frac{x^2}{300}$

$6 \approx 0.452x + \frac{1}{300}x^2$

Перепишем это в виде стандартного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$\frac{1}{300}x^2 + 0.452x - 6 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для нахождения корней:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-0.452 \pm \sqrt{0.452^2 - 4 \cdot \frac{1}{300} \cdot (-6)}}{2 \cdot \frac{1}{300}}$

$x = \frac{-0.452 \pm \sqrt{0.2043 + 0.08}}{1/150}$

$x = 150 \cdot (-0.452 \pm \sqrt{0.2843})$

$x \approx 150 \cdot (-0.452 \pm 0.533)$

Поскольку $x = \sqrt{h}$, значение $\text{x}$ должно быть положительным. Следовательно, мы выбираем корень со знаком "+":

$x \approx 150 \cdot (-0.452 + 0.533) = 150 \cdot 0.081 = 12.15$

Теперь, зная $\text{x}$, можем найти глубину шахты $\text{h}$:

$h = x^2 \approx 12.15^2 \approx 147.6$ м.

Ответ: глубина шахты составляет примерно 147.6 м.