Номер 159, страница 130 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 159, страница 130.

Условие.

159. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 3 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета, из того же пункта с такой же начальной скоростью брошено второе тело. На каком расстоянии от точки бросания тела встретятся?

Решение.

Дано:

$v_0 = 3$ м/с

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{h}$ — расстояние от точки бросания, на котором встретятся тела.

Решение:

1. Определим время $t_1$, за которое первое тело достигнет верхней точки полета. В верхней точке скорость тела равна нулю. Используем формулу скорости для равноускоренного движения:

$v = v_0 - gt$

При $v = 0$:

$0 = v_0 - gt_1$

$t_1 = \frac{v_0}{g}$

2. Найдем максимальную высоту подъема $h_{max}$, на которую поднимется первое тело. Используем формулу для координаты:

$h_{max} = v_0t_1 - \frac{gt_1^2}{2}$

Подставим выражение для $t_1$:

$h_{max} = v_0\left(\frac{v_0}{g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_0}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g}$

3. В момент, когда первое тело достигло высоты $h_{max}$ (и его скорость стала равной нулю), из начальной точки бросают второе тело с такой же начальной скоростью $v_0$. С этого момента начнем новый отсчет времени $t'$.

Запишем уравнения движения для обоих тел. Начало координат ($y=0$) находится в точке бросания, ось $\text{Y}$ направлена вертикально вверх.

Уравнение движения первого тела (свободное падение с высоты $h_{max}$):

$y_1(t') = h_{max} - \frac{g(t')^2}{2}$

Уравнение движения второго тела (бросок вверх с начальной скоростью $v_0$):

$y_2(t') = v_0t' - \frac{g(t')^2}{2}$

4. Тела встретятся, когда их координаты будут равны: $y_1(t') = y_2(t')$.

$h_{max} - \frac{g(t')^2}{2} = v_0t' - \frac{g(t')^2}{2}$

Сократим одинаковые слагаемые:

$h_{max} = v_0t'$

Подставим выражение для $h_{max}$:

$\frac{v_0^2}{2g} = v_0t'$

Отсюда найдем время встречи $t'$:

$t' = \frac{v_0}{2g}$

5. Теперь найдем высоту встречи $\text{h}$, подставив время $t'$ в уравнение движения для второго тела (или первого):

$h = y_2(t') = v_0t' - \frac{g(t')^2}{2}$

$h = v_0\left(\frac{v_0}{2g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_0}{2g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g v_0^2}{2 \cdot 4g^2} = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{v_0^2}{8g}$

$h = \frac{4v_0^2 - v_0^2}{8g} = \frac{3v_0^2}{8g}$

6. Подставим числовые значения:

$h = \frac{3 \cdot (3 \text{ м/с})^2}{8 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{3 \cdot 9 \text{ м}^2/\text{с}^2}{78.4 \text{ м/с}^2} = \frac{27}{78.4} \text{ м} \approx 0.344 \text{ м}$

Ответ: Тела встретятся на расстоянии примерно $0.344$ м от точки бросания.