Номер 157, страница 129 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 157, страница 129.

Условие.

157. Тело, свободно падающее с высоты 7,8 м, первый участок пути от начала движения проходит за время $\text{t}$, а такой же участок в конце – за время $0,5t$. Найдите значение $\text{t}$.

Решение.

Дано:

$H = 7,8$ м

$t_1 = t$

$t_2 = 0,5t$

$g = 9,8$ м/с$^2$

В системе СИ все величины уже представлены.

Найти:

$\text{t}$ - ?

Решение:

Тело падает свободно, следовательно, начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$), а движение является равноускоренным с ускорением $\text{g}$.

Пусть $\text{h}$ - длина первого и последнего участков пути.

1. Длина первого участка пути, пройденного телом от начала движения за время $\text{t}$, определяется по формуле:

$h = \frac{gt^2}{2}$ (1)

2. Пусть $\text{T}$ - полное время падения с высоты $\text{H}$. Тогда:

$H = \frac{gT^2}{2}$ (2)

3. Последний участок пути $\text{h}$ тело проходит за время $0,5t$. Это означает, что путь $H - h$ тело проходит за время $T - 0,5t$. Запишем уравнение для этого участка:

$H - h = \frac{g(T - 0,5t)^2}{2}$ (3)

4. Получили систему из трех уравнений. Подставим выражения для $\text{H}$ и $\text{h}$ из уравнений (1) и (2) в уравнение (3):

$\frac{gT^2}{2} - \frac{gt^2}{2} = \frac{g(T - 0,5t)^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{g}$ (так как $g \ne 0$):

$T^2 - t^2 = (T - 0,5t)^2$

Раскроем скобки в правой части по формуле квадрата разности:

$T^2 - t^2 = T^2 - 2 \cdot T \cdot (0,5t) + (0,5t)^2$

$T^2 - t^2 = T^2 - Tt + 0,25t^2$

Сократим $T^2$ в обеих частях:

$-t^2 = -Tt + 0,25t^2$

Перегруппируем члены, чтобы выразить $\text{T}$ через $\text{t}$:

$Tt = t^2 + 0,25t^2$

$Tt = 1,25t^2$

Так как время $\text{t}$ не может быть равно нулю, разделим обе части на $\text{t}$:

$T = 1,25t$

5. Теперь подставим полученное соотношение для $\text{T}$ в уравнение (2) для полного пути:

$H = \frac{g(1,25t)^2}{2}$

$H = \frac{g \cdot 1,5625 \cdot t^2}{2}$

Выразим отсюда $t^2$:

$t^2 = \frac{2H}{1,5625g}$

Подставим числовые значения из условия задачи, принимая ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/с$^2$:

$t^2 = \frac{2 \cdot 7,8}{1,5625 \cdot 9,8} = \frac{15,6}{15,3125} \approx 1,0188$ с$^2$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $\text{t}$:

$t = \sqrt{1,0188} \approx 1,009$ с

Учитывая, что исходные данные приведены с точностью до двух значащих цифр (7,8 м), округлим результат до такой же точности.

Ответ: $t \approx 1,0$ с.