Номер 150, страница 129 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 150, страница 129.

Условие.

150. Вертолет поднимается вверх со скоростью $10 \, \text{м}/\text{с}$. На высоте $100 \, \text{м}$ из него выпадает предмет. Через сколько времени предмет упадет на землю?

Решение.

Дано:

Начальная скорость вертолета (и предмета), $v_0 = 10$ м/с
Высота, на которой выпал предмет, $h_0 = 100$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Время падения предмета, $\text{t}$ - ?

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) поместим на поверхности земли.

В момент, когда предмет выпадает из вертолета, он по инерции имеет ту же скорость, что и вертолет. Так как вертолет поднимается вверх, начальная скорость предмета $v_0$ направлена вертикально вверх и равна 10 м/с. Начальная высота предмета $h_0 = 100$ м.

Движение предмета после выпадения является равноускоренным движением под действием силы тяжести. Ускорение предмета равно ускорению свободного падения $\text{g}$ и направлено вниз. В нашей системе координат проекция ускорения на ось OY будет отрицательной: $a_y = -g$.

Запишем уравнение движения для координаты $\text{y}$ предмета в зависимости от времени $\text{t}$:
$y(t) = h_0 + v_0 t + \frac{a_y t^2}{2}$

Подставим известные значения: $h_0 = 100$ м, $v_0 = 10$ м/с, $a_y = -g \approx -10$ м/с².
$y(t) = 100 + 10t - \frac{10t^2}{2}$
$y(t) = 100 + 10t - 5t^2$

Предмет упадет на землю, когда его координата $\text{y}$ станет равной нулю. Найдем время $\text{t}$, при котором $y(t) = 0$:
$100 + 10t - 5t^2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Для удобства разделим все члены на -5 и переупорядочим их:
$t^2 - 2t - 20 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-20$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 4 + 80 = 84$
$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{84}}{2}$

Так как время не может быть отрицательным, нас интересует только положительный корень:
$t = \frac{2 + \sqrt{84}}{2} = 1 + \sqrt{21}$

Вычислим приближенное значение: $\sqrt{21} \approx 4.58$.
$t \approx 1 + 4.58 = 5.58$ с.

Ответ: предмет упадет на землю через приблизительно 5.58 с.