Номер 144, страница 128 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 144, страница 128.

Условие.

144. Камень, брошенный вертикально вверх, на некоторой высоте побывал два раза: через 1 с и через 3 с после старта. Определите начальную скорость камня.

Решение.

Дано:

$t_1 = 1$ с

$t_2 = 3$ с

Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с² (принимаем для удобства расчетов)

Найти:

$v_0$ — начальная скорость камня.

Решение:

Движение камня, брошенного вертикально вверх, является равноускоренным. Зависимость высоты подъема $\text{h}$ от времени $\text{t}$ при начальной высоте, равной нулю, описывается уравнением кинематики:

$h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

где $v_0$ — начальная скорость, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Согласно условию, камень находился на одной и той же высоте $\text{h}$ в два момента времени: $t_1 = 1$ с (во время подъема) и $t_2 = 3$ с (во время спуска). Это означает, что мы можем составить систему из двух уравнений:

$h = v_0 t_1 - \frac{gt_1^2}{2}$

$h = v_0 t_2 - \frac{gt_2^2}{2}$

Поскольку левые части уравнений равны (высота $\text{h}$ одна и та же), мы можем приравнять их правые части:

$v_0 t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = v_0 t_2 - \frac{gt_2^2}{2}$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выразить начальную скорость $v_0$. Перенесем члены с $v_0$ в левую часть, а члены с $\text{g}$ — в правую:

$v_0 t_1 - v_0 t_2 = \frac{gt_1^2}{2} - \frac{gt_2^2}{2}$

Вынесем общие множители за скобки:

$v_0 (t_1 - t_2) = \frac{g}{2}(t_1^2 - t_2^2)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в правой части:

$v_0 (t_1 - t_2) = \frac{g}{2}(t_1 - t_2)(t_1 + t_2)$

Поскольку $t_1 \neq t_2$, то $(t_1 - t_2) \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(t_1 - t_2)$:

$v_0 = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$

Теперь подставим в полученную формулу числовые значения из условия задачи:

$v_0 = \frac{10 \text{ м/с²} \cdot (1 \text{ с} + 3 \text{ с})}{2} = \frac{10 \text{ м/с²} \cdot 4 \text{ с}}{2} = \frac{40 \text{ м/с}}{2} = 20 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость камня равна 20 м/с.