Номер 139, страница 128 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 139, страница 128.

Условие.

139. Тело свободно падает с высоты 20 м. На какой высоте скорость тела равна половине максимальной скорости?

Решение.

Дано:

$H = 20$ м (начальная высота)

$v_0 = 0$ м/с (начальная скорость)

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

$v = \frac{1}{2} v_{max}$ (скорость на искомой высоте)

Найти:

$\text{h}$ - ? (высота, на которой скорость равна половине максимальной)

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Сопротивление воздуха не учитываем.

1. Найдем максимальную скорость тела $v_{max}$. Максимальная скорость будет достигнута в момент перед падением на землю (на высоте 0). В начальный момент времени (на высоте $\text{H}$) тело обладает только потенциальной энергией $E_p = mgH$. В конечный момент (на высоте 0) эта энергия полностью перейдет в кинетическую $E_k = \frac{1}{2}mv_{max}^2$.

Согласно закону сохранения энергии:

$mgH = \frac{1}{2}mv_{max}^2$

Отсюда выразим квадрат максимальной скорости:

$v_{max}^2 = 2gH$

2. Теперь рассмотрим состояние тела на искомой высоте $\text{h}$, где его скорость $\text{v}$ равна половине максимальной, то есть $v = \frac{1}{2}v_{max}$.

На этой высоте тело обладает как потенциальной энергией $mgh$, так и кинетической энергией $\frac{1}{2}mv^2$. Полная механическая энергия на высоте $\text{h}$ равна сумме этих энергий:

$E_{полная} = mgh + \frac{1}{2}mv^2$

По закону сохранения энергии, полная энергия в любой точке траектории одинакова и равна начальной потенциальной энергии:

$mgH = mgh + \frac{1}{2}mv^2$

3. Подставим в это уравнение выражение для скорости $v = \frac{1}{2}v_{max}$:

$mgH = mgh + \frac{1}{2}m(\frac{1}{2}v_{max})^2$

$mgH = mgh + \frac{1}{2}m(\frac{1}{4}v_{max}^2)$

$mgH = mgh + \frac{1}{8}mv_{max}^2$

4. Теперь подставим выражение для $v_{max}^2 = 2gH$ из шага 1:

$mgH = mgh + \frac{1}{8}m(2gH)$

$mgH = mgh + \frac{1}{4}mgH$

Сократим обе части уравнения на $mg$ (так как $m \neq 0$ и $g \neq 0$):

$H = h + \frac{1}{4}H$

5. Выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = H - \frac{1}{4}H = \frac{3}{4}H$

6. Подставим числовое значение $H = 20$ м:

$h = \frac{3}{4} \cdot 20 \text{ м} = 15 \text{ м}$

Ответ: на высоте 15 м скорость тела будет равна половине максимальной.