Номер 149, страница 129 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 149, страница 129.

Условие.

149. Два тела запущены одновременно навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. Одно запущено вертикально вверх с поверхности земли, а другое – вертикально вниз с высоты 30 м. Найдите эти скорости, если известно, что к моменту встречи одно из тел пролетело треть высоты.

Решение.

Дано:

Начальная высота второго тела $H = 30$ м.
Начальные скорости тел равны по модулю $v_{01} = v_{02} = v_0$.
Путь, пройденный одним из тел до встречи, $S = \frac{H}{3}$.
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².

Найти:

Начальную скорость тел $v_0$.

Решение:

Введем систему координат с осью $OY$, направленной вертикально вверх. Начало координат ($y=0$) расположим на поверхности земли.

Первое тело запущено с поверхности земли ($y_{01}=0$) вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$. Его уравнение движения:$y_1(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Второе тело запущено с высоты $\text{H}$ ($y_{02}=H$) вертикально вниз с начальной скоростью $v_0$. Его уравнение движения:$y_2(t) = H - v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Тела встретятся в момент времени $t_{встр}$, когда их координаты будут равны: $y_1(t_{встр}) = y_2(t_{встр})$.$v_0 t_{встр} - \frac{gt_{встр}^2}{2} = H - v_0 t_{встр} - \frac{gt_{встр}^2}{2}$
$v_0 t_{встр} = H - v_0 t_{встр}$
$2v_0 t_{встр} = H$
$t_{встр} = \frac{H}{2v_0}$

Теперь найдем пути, пройденные каждым телом до момента встречи.

Путь, пройденный первым телом (движение вверх):$S_1 = y_1(t_{встр}) = v_0 t_{встр} - \frac{gt_{встр}^2}{2}$

Путь, пройденный вторым телом (движение вниз):$S_2 = |y_2(t_{встр}) - H| = |(H - v_0 t_{встр} - \frac{gt_{встр}^2}{2}) - H| = v_0 t_{встр} + \frac{gt_{встр}^2}{2}$

Сравнивая выражения для $S_1$ и $S_2$, очевидно, что $S_2 > S_1$, так как второе тело движется с ускорением под действием силы тяжести, а первое — замедленно. Следовательно, меньший путь, равный трети высоты ($\frac{H}{3}$), прошло первое тело.$S_1 = \frac{H}{3}$

Подставим в это уравнение выражение для времени встречи $t_{встр}$:$v_0 \left( \frac{H}{2v_0} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{H}{2v_0} \right)^2 = \frac{H}{3}$
$\frac{H}{2} - \frac{gH^2}{8v_0^2} = \frac{H}{3}$

Выразим из этого уравнения $v_0$:$\frac{H}{2} - \frac{H}{3} = \frac{gH^2}{8v_0^2}$
$\frac{3H - 2H}{6} = \frac{gH^2}{8v_0^2}$
$\frac{H}{6} = \frac{gH^2}{8v_0^2}$
Разделим обе части на $\text{H}$ (так как $H \neq 0$):$\frac{1}{6} = \frac{gH}{8v_0^2}$
$8v_0^2 = 6gH$
$v_0^2 = \frac{6gH}{8} = \frac{3gH}{4}$
$v_0 = \sqrt{\frac{3gH}{4}}$

Подставим числовые значения:$v_0 = \sqrt{\frac{3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 30 \text{ м}}{4}} = \sqrt{\frac{900}{4}} \text{ м/с} = \sqrt{225} \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}$

Ответ: 15 м/с.