Номер 153, страница 129 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 153, страница 129.

Условие.

153. Ракета, запущенная вертикально вверх, во время работы двигателя имела постоянное ускорение $50 \text{ м/с}^2$. Спустя 1 мин после старта двигатель ракеты отключился. Через какое время после отключения двигателя ракета упала на землю?

Решение.

Дано:

Ускорение ракеты с работающим двигателем, $a = 50 \, \text{м/с}^2$
Время работы двигателя, $t_1 = 1 \, \text{мин}$
Начальная скорость, $v_0 = 0 \, \text{м/с}$

Для упрощения расчетов примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$.

Переведем все данные в систему СИ:
$t_1 = 1 \, \text{мин} = 60 \, \text{с}$

Найти:

$t_2$ — время от момента отключения двигателя до падения ракеты на землю.

Решение:

Движение ракеты состоит из двух этапов.
1. Этап разгона с работающим двигателем.
На этом этапе ракета движется равноускоренно вертикально вверх. Определим высоту и скорость ракеты в момент отключения двигателя.
Скорость $v_1$, достигнутая ракетой за время $t_1$:
$v_1 = v_0 + at_1 = 0 + 50 \, \text{м/с}^2 \cdot 60 \, \text{с} = 3000 \, \text{м/с}$.
Высота $h_1$, на которую поднимется ракета за это время:
$h_1 = v_0 t_1 + \frac{at_1^2}{2} = 0 \cdot 60 + \frac{50 \cdot (60)^2}{2} = 25 \cdot 3600 = 90000 \, \text{м}$.

2. Этап свободного полета после отключения двигателя.
В начале этого этапа ракета находится на высоте $h_1 = 90000 \, \text{м}$ и имеет начальную скорость $v_1 = 3000 \, \text{м/с}$, направленную вверх. После отключения двигателя ракета движется только под действием силы тяжести, то есть с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз.
Запишем уравнение для высоты ракеты $\text{h}$ в зависимости от времени $t_2$, прошедшего с момента отключения двигателя:
$h(t_2) = h_1 + v_1 t_2 - \frac{g t_2^2}{2}$.
Когда ракета упадет на землю, ее высота будет равна нулю: $h(t_2) = 0$.
$0 = 90000 + 3000 t_2 - \frac{10 t_2^2}{2}$.
Получаем квадратное уравнение:
$5 t_2^2 - 3000 t_2 - 90000 = 0$.
Разделим все члены уравнения на 5 для упрощения:
$t_2^2 - 600 t_2 - 18000 = 0$.
Решим это уравнение. Дискриминант $\text{D}$:
$D = b^2 - 4ac = (-600)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18000) = 360000 + 72000 = 432000$.
Найдем корни уравнения:
$t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{600 \pm \sqrt{432000}}{2}$.
Поскольку время не может быть отрицательным, нас интересует только положительный корень:
$t_2 = \frac{600 + \sqrt{432000}}{2}$.
Упростим корень: $\sqrt{432000} = \sqrt{14400 \cdot 30} = 120\sqrt{30}$.
$t_2 = \frac{600 + 120\sqrt{30}}{2} = 300 + 60\sqrt{30} \, (\text{с})$.
Для получения численного значения используем $\sqrt{30} \approx 5,477$:
$t_2 \approx 300 + 60 \cdot 5,477 = 300 + 328,62 \approx 628,62 \, \text{с}$.
Округляя, получаем $t_2 \approx 629 \, \text{с}$. Это примерно $10,5$ минут.

Ответ: Время, через которое ракета упала на землю после отключения двигателя, составляет $300 + 60\sqrt{30} \, \text{с}$, что приблизительно равно $629 \, \text{с}$.