Номер 154, страница 129 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 154, страница 129.

Условие.

154. Тяжелый шарик, свободно падая с некоторой высоты, на половине пути пробил стеклянную пластинку и потерял половину своей скорости. Во сколько раз уменьшилась скорость падения на землю этого шарика?

Решение.

Дано:

$\text{H}$ - начальная высота падения шарика.
$h_1 = H/2$ - расстояние, которое пролетел шарик до удара о пластинку.
$v_1$ - скорость шарика непосредственно перед ударом о пластинку.
$v_1' = v_1 / 2$ - скорость шарика сразу после пробивания пластинки.

Найти:

$\frac{v_{ид}}{v_{реал}}$ - отношение скорости падения на землю без пластинки ($v_{ид}$) к скорости падения с пластинкой ($v_{реал}$).

Решение:

Для решения задачи рассмотрим два сценария: падение шарика без препятствий и с препятствием.

1. Сценарий 1: Падение без пластинки (идеальный случай)

Шарик свободно падает с высоты $\text{H}$ с начальной скоростью, равной нулю. Его конечная скорость $v_{ид}$ у поверхности земли определяется по формуле для равноускоренного движения:

$v_{ид}^2 = 2gH$, откуда $v_{ид} = \sqrt{2gH}$

2. Сценарий 2: Падение с пластинкой (реальный случай)

Движение шарика в этом случае состоит из двух этапов.

Этап I: Падение до пластинки.

Шарик падает с высоты $\text{H}$ до высоты $H/2$, то есть проходит путь $s_1 = H/2$. Скорость $v_1$, которую он наберет к моменту удара о пластинку, равна:

$v_1^2 = 2g s_1 = 2g(H/2) = gH$, откуда $v_1 = \sqrt{gH}$

Этап II: Падение после пластинки.

Согласно условию, после пробивания пластинки скорость шарика уменьшается вдвое. Таким образом, начальная скорость для второго этапа падения $v_1'$ составляет:

$v_1' = \frac{v_1}{2} = \frac{\sqrt{gH}}{2}$

Далее шарик падает оставшееся расстояние $s_2 = H/2$ с начальной скоростью $v_1'$. Его конечная скорость $v_{реал}$ у поверхности земли находится по формуле $v_{кон}^2 = v_{нач}^2 + 2gs$:

$v_{реал}^2 = (v_1')^2 + 2gs_2 = \left(\frac{\sqrt{gH}}{2}\right)^2 + 2g\frac{H}{2}$

$v_{реал}^2 = \frac{gH}{4} + gH = \frac{gH + 4gH}{4} = \frac{5gH}{4}$

$v_{реал} = \sqrt{\frac{5gH}{4}} = \frac{\sqrt{5gH}}{2}$

3. Нахождение искомого отношения скоростей

Чтобы определить, во сколько раз уменьшилась скорость падения на землю, найдем отношение скорости в идеальном случае к скорости в реальном случае:

$\frac{v_{ид}}{v_{реал}} = \frac{\sqrt{2gH}}{\frac{\sqrt{5gH}}{2}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{gH}}{\frac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{gH}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Преобразуем выражение для удобства:

$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{(2\sqrt{2})^2}{5^2}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 2}{5}} = \sqrt{\frac{8}{5}} = \sqrt{1.6}$

Ответ: Скорость падения на землю этого шарика уменьшилась в $\sqrt{1.6}$ раз (приблизительно в 1.265 раза).