Номер 160, страница 130 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 160, страница 130.

Условие.

160. Тело свободно падает с высоты 270 м. Разделите эту высоту на три части так, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось одно и то же время.

Решение.

Дано:

$H = 270$ м (общая высота падения)
$v_0 = 0$ м/с (тело падает свободно)
$t_1 = t_2 = t_3 = \Delta t$ (время прохождения каждого из трех участков одинаково)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$h_1, h_2, h_3$ - длины трех участков.

Решение:

Движение тела является свободным падением, то есть равноускоренным движением с ускорением свободного падения $\text{g}$ и начальной скоростью $v_0 = 0$. Путь, пройденный телом за время $\text{t}$ с момента начала движения, определяется по формуле: $S(t) = v_0 t + \frac{gt^2}{2} = \frac{gt^2}{2}$.

Пусть $\Delta t$ - время, за которое тело проходит каждый из трех участков.

Первый участок $h_1$ тело проходит за время $\Delta t$. Путь, пройденный телом от начала падения, равен: $h_1 = S(\Delta t) = \frac{g(\Delta t)^2}{2}$.

Второй участок $h_2$ тело проходит за время от $\Delta t$ до $2\Delta t$. Общий путь, пройденный телом от начала падения за время $2\Delta t$, равен: $S(2\Delta t) = \frac{g(2\Delta t)^2}{2} = \frac{g \cdot 4(\Delta t)^2}{2} = 4 \cdot \frac{g(\Delta t)^2}{2}$. Поскольку $h_1 = \frac{g(\Delta t)^2}{2}$, то $S(2\Delta t) = 4h_1$. Этот путь также равен сумме первых двух участков: $S(2\Delta t) = h_1 + h_2$. Следовательно, $h_1 + h_2 = 4h_1$, откуда получаем $h_2 = 3h_1$.

Третий участок $h_3$ тело проходит за время от $2\Delta t$ до $3\Delta t$. Общий путь, пройденный телом от начала падения за время $3\Delta t$, равен общей высоте $\text{H}$: $H = S(3\Delta t) = \frac{g(3\Delta t)^2}{2} = \frac{g \cdot 9(\Delta t)^2}{2} = 9 \cdot \frac{g(\Delta t)^2}{2} = 9h_1$. Этот путь равен сумме всех трех участков: $H = h_1 + h_2 + h_3$. Следовательно, $h_1 + h_2 + h_3 = 9h_1$. Подставим ранее найденное выражение для $h_2$: $h_1 + 3h_1 + h_3 = 9h_1$, $4h_1 + h_3 = 9h_1$, откуда получаем $h_3 = 5h_1$.

Таким образом, мы получили соотношения между длинами участков: $h_1 : h_2 : h_3 = 1 : 3 : 5$.

Общая высота $\text{H}$ равна сумме длин этих участков: $H = h_1 + h_2 + h_3 = 270$ м. Подставим выражения для $h_2$ и $h_3$ через $h_1$: $h_1 + 3h_1 + 5h_1 = 270$ м. $9h_1 = 270$ м. $h_1 = \frac{270}{9} = 30$ м.

Теперь найдем длины второго и третьего участков: $h_2 = 3h_1 = 3 \cdot 30 = 90$ м. $h_3 = 5h_1 = 5 \cdot 30 = 150$ м.

Проверим полученный результат: $h_1 + h_2 + h_3 = 30 + 90 + 150 = 270$ м, что соответствует условию задачи.

Ответ: Высоту нужно разделить на три части: первая часть - 30 м, вторая - 90 м, третья - 150 м.