Номер 162, страница 130 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 162, страница 130.

Условие.

162. Лифт начинает подниматься с ускорением $2,3 \text{ м}/\text{с}^2$. Когда его скорость достигла $2,4 \text{ м}/\text{с}$, с потолка кабины лифта начал падать болт. Чему равны время падения и модуль перемещения болта относительно земли? Высота кабины лифта $2,5 \text{ м}$.

Решение.

Дано:

$a = 2,3 \text{ м/с}^2$

$v_0 = 2,4 \text{ м/с}$

$h = 2,5 \text{ м}$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{t}$ - время падения болта

$|S_б|$ - модуль перемещения болта относительно земли

Решение:

Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной с землей. Направим ось OY вертикально вверх. За начало отсчета времени ($t=0$) примем момент, когда болт начинает падать с потолка. В этот момент скорость лифта (и болта) равна $v_0$. За начало координат ($y=0$) примем положение пола лифта в момент $t=0$.

Тогда начальная координата потолка (и болта) будет $y_{б0} = h$.

Запишем уравнения движения для пола лифта и для болта.

Пол лифта движется равноускоренно с начальной скоростью $v_0$ и ускорением $\text{a}$. Его координата в любой момент времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$y_п(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Болт, оторвавшись от потолка, движется с начальной скоростью $v_0$, направленной вверх, и с ускорением свободного падения $\text{g}$, направленным вниз. Его координата в любой момент времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$y_б(t) = y_{б0} + v_0 t - \frac{gt^2}{2} = h + v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Время падения

Болт упадет на пол в момент времени $\text{t}$, когда их координаты совпадут, то есть $y_б(t) = y_п(t)$.

$h + v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Сократим $v_0 t$ в обеих частях уравнения:

$h - \frac{gt^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

$h = \frac{at^2}{2} + \frac{gt^2}{2}$

$h = \frac{(a+g)t^2}{2}$

Отсюда выразим время падения $\text{t}$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{a+g}}$

Подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,5}{2,3 + 9,8}} = \sqrt{\frac{5}{12,1}} \approx \sqrt{0,4132} \approx 0,643 \text{ с}$

Округлим до двух значащих цифр, как в исходных данных.

Ответ: $t \approx 0,64 \text{ с}$

Модуль перемещения болта относительно земли

Перемещение болта $S_б$ относительно земли за время падения $\text{t}$ равно изменению его координаты. В нашей системе отсчета начальная координата болта была $y_{б0} = h$, а конечная - $y_б(t)$. Перемещение - это $S_б = y_б(t) - y_{б0}$.

Используя уравнение движения болта, найдем его перемещение:

$S_б = (h + v_0 t - \frac{gt^2}{2}) - h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим известные значения и найденное время $t \approx 0,643 \text{ с}$ (используем более точное значение для промежуточных вычислений):

$S_б = 2,4 \cdot 0,643 - \frac{9,8 \cdot (0,643)^2}{2} \approx 1,543 - \frac{9,8 \cdot 0,4135}{2} \approx 1,543 - 2,026 = -0,483 \text{ м}$

Знак "минус" означает, что вектор перемещения направлен против оси OY, то есть вниз. Модуль перемещения равен абсолютному значению этой величины.

$|S_б| = |-0,483| = 0,483 \text{ м}$

Округлим до двух значащих цифр.

Ответ: $|S_б| \approx 0,48 \text{ м}$