Номер 158, страница 130 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 158, страница 130.

Условие.

158. Ракета для фейерверка на высоте $100 \text{ м}$ разрывается в воздухе на два осколка. Скорость первого осколка равна $60 \text{ м/с}$ и направлена вертикально вверх, скорость второго осколка – $40 \text{ м/с}$ и направлена вертикально вниз. На каком расстоянии друг от друга окажутся осколки через $0,5 \text{ с}$?

Решение.

Дано:

$h = 100$ м (начальная высота)

$v_1 = 60$ м/с (скорость первого осколка)

$v_2 = 40$ м/с (скорость второго осколка)

$t = 0,5$ с

Найти:

$\text{S}$ — расстояние между осколками через время $\text{t}$.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим движение осколков относительно точки разрыва. Выберем систему отсчета, начало которой ($y=0$) находится в точке разрыва ракеты, а ось $OY$ направлена вертикально вверх. Движение обоих осколков после разрыва является равноускоренным под действием силы тяжести. Ускорение обоих осколков одинаково и равно ускорению свободного падения $\text{g}$, направленному вниз ($a_y = -g$).

Запишем уравнение движения для первого осколка, который движется вверх. Его начальная скорость в выбранной системе отсчета $v_{01} = +v_1$. Координата первого осколка в момент времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$y_1(t) = v_1 t - \frac{gt^2}{2}$

Теперь запишем уравнение движения для второго осколка, который движется вниз. Его начальная скорость $v_{02} = -v_2$. Координата второго осколка в момент времени $\text{t}$:

$y_2(t) = -v_2 t - \frac{gt^2}{2}$

Расстояние $\text{S}$ между осколками в любой момент времени $\text{t}$ будет равно модулю разности их координат:

$S = |y_1(t) - y_2(t)|$

Подставим выражения для координат:

$S = |(v_1 t - \frac{gt^2}{2}) - (-v_2 t - \frac{gt^2}{2})|$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S = |v_1 t - \frac{gt^2}{2} + v_2 t + \frac{gt^2}{2}| = |v_1 t + v_2 t|$

$S = (v_1 + v_2)t$

Из полученной формулы видно, что расстояние между осколками зависит только от их начальных скоростей и времени. Ускорение свободного падения $\text{g}$ сократилось, так как оно одинаково влияет на оба осколка. Начальная высота разрыва $h = 100$ м также не имеет значения для нахождения расстояния между осколками.

Скорость, с которой осколки удаляются друг от друга (относительная скорость), постоянна и равна сумме их скоростей: $v_{отн} = v_1 + v_2$.

Подставим числовые значения из условия задачи:

$S = (60 \text{ м/с} + 40 \text{ м/с}) \cdot 0,5 \text{ с} = 100 \text{ м/с} \cdot 0,5 \text{ с} = 50 \text{ м}$

Ответ: через 0,5 с осколки окажутся на расстоянии 50 м друг от друга.