Номер 155, страница 129 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз) - номер 155, страница 129.

Условие.

155. Камень, свободно падающий с некоторой высоты без начальной скорости, за 1 с после начала движения проходит путь в 5 раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найдите полное время движения.

Решение.

Дано:

$v_0 = 0$ м/с
$\Delta t_1 = 1$ с (первая секунда движения)
$\Delta t_2 = 1$ с (последняя секунда движения)
$S_1$ — путь за $\Delta t_1$
$S_{last}$ — путь за $\Delta t_2$
$\frac{S_{last}}{S_1} = 5$

Найти:

$\text{T}$ — полное время движения.

Решение:

Движение камня является свободным падением, которое представляет собой равноускоренное движение с начальной скоростью $v_0 = 0$ и ускорением свободного падения $\text{g}$.

Путь, пройденный телом при свободном падении без начальной скорости за время $\text{t}$, вычисляется по формуле: $S(t) = \frac{gt^2}{2}$

1. Определим путь $S_1$, который камень проходит за первую секунду движения (в интервале времени от $t_0 = 0$ с до $t_1 = 1$ с). $S_1 = S(t_1) - S(t_0) = \frac{g \cdot 1^2}{2} - \frac{g \cdot 0^2}{2} = \frac{g}{2}$

2. Пусть полное время движения камня равно $\text{T}$. Тогда последняя секунда движения — это промежуток времени от $t_2 = (T-1)$ с до $t_3 = T$ с. Путь $S_{last}$, пройденный за эту последнюю секунду, можно найти как разность путей, пройденных за полное время $\text{T}$ и за время $(T-1)$. $S_{last} = S(T) - S(T-1) = \frac{gT^2}{2} - \frac{g(T-1)^2}{2}$

Упростим это выражение: $S_{last} = \frac{g}{2}(T^2 - (T-1)^2) = \frac{g}{2}(T^2 - (T^2 - 2T + 1)) = \frac{g}{2}(T^2 - T^2 + 2T - 1) = \frac{g(2T - 1)}{2}$

3. Согласно условию задачи, путь за первую секунду в 5 раз меньше, чем за последнюю, то есть $S_{last} = 5 \cdot S_1$. Подставим в это соотношение найденные выражения для $S_1$ и $S_{last}$: $\frac{g(2T - 1)}{2} = 5 \cdot \frac{g}{2}$

4. Решим полученное уравнение относительно $\text{T}$. Можно сократить обе части уравнения на $\frac{g}{2}$: $2T - 1 = 5$ $2T = 6$ $T = \frac{6}{2} = 3$ с

Ответ: полное время движения камня равно 3 с.