Номер 171, страница 131 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного горизонтально - номер 171, страница 131.

Условие.

171. С вершины горы, образующей угол 60° с горизонтом, в горизонтальном направлении брошен камень, который упал на склон горы на расстоянии 20 м от вершины. Определите начальную скорость камня.

Решение.

Дано:

Угол наклона горы, $\alpha = 60^\circ$

Расстояние, пройденное камнем по склону, $L = 20$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Начальную скорость камня, $v_0$

Решение:

Выберем систему координат, в которой начало совпадает с точкой броска (вершиной горы), ось $Ox$ направлена горизонтально, а ось $Oy$ — вертикально вниз. В этой системе координат движение камня можно описать следующими уравнениями:

Координата по горизонтали: $x(t) = v_0 t$

Координата по вертикали: $y(t) = \frac{gt^2}{2}$

Камень падает на склон горы. Координаты точки падения $(x, y)$ связаны с расстоянием $\text{L}$ и углом наклона склона $\alpha$ следующими соотношениями:

$x = L \cos(\alpha)$

$y = L \sin(\alpha)$

Пусть $\text{t}$ — время полета камня до падения на склон. Приравняем выражения для координат:

$L \cos(\alpha) = v_0 t$ (1)

$L \sin(\alpha) = \frac{gt^2}{2}$ (2)

Из уравнения (1) выразим время полета $\text{t}$:

$t = \frac{L \cos(\alpha)}{v_0}$

Подставим это выражение для времени в уравнение (2):

$L \sin(\alpha) = \frac{g}{2} \left( \frac{L \cos(\alpha)}{v_0} \right)^2$

Упростим полученное уравнение:

$L \sin(\alpha) = \frac{g L^2 \cos^2(\alpha)}{2 v_0^2}$

Выразим из этого уравнения квадрат начальной скорости $v_0^2$:

$v_0^2 = \frac{g L^2 \cos^2(\alpha)}{2 L \sin(\alpha)} = \frac{g L \cos^2(\alpha)}{2 \sin(\alpha)}$

Теперь найдем $v_0$:

$v_0 = \sqrt{\frac{g L \cos^2(\alpha)}{2 \sin(\alpha)}}$

Подставим известные значения. Учитывая, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$v_0 = \sqrt{\frac{9.8 \cdot 20 \cdot (\frac{1}{2})^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}} = \sqrt{\frac{9.8 \cdot 20 \cdot \frac{1}{4}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{49}{\sqrt{3}}}$

Вычислим числовое значение:

$v_0 \approx \sqrt{\frac{49}{1.732}} \approx \sqrt{28.29} \approx 5.32$ м/с.

Ответ: начальная скорость камня равна примерно $5.32$ м/с.