Номер 177, страница 132 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного горизонтально - номер 177, страница 132.

Условие.

177. Камень, брошенный горизонтально с высоты 5 м, упал на землю со скоростью, направленной под углом $60^{\circ}$ к горизонту. Определите начальную скорость камня.

Решение.

Дано:

$h = 5$ м

$\alpha = 60°$

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$v_0$ - начальную скорость камня.

Решение:

Движение камня, брошенного горизонтально, можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного движения по горизонтали (ось X) и равноускоренного движения без начальной скорости по вертикали (ось Y).

Начальная скорость $v_0$ направлена горизонтально, поэтому ее проекции на оси координат в начальный момент времени ($t=0$) равны:

$v_{0x} = v_0$

$v_{0y} = 0$

В любой момент времени $\text{t}$ проекции скорости на оси будут:

$v_x(t) = v_{0x} = v_0$ (так как по горизонтали нет ускорения)

$v_y(t) = v_{0y} + gt = gt$ (так как по вертикали действует ускорение свободного падения)

Найдем время полета камня $t_{fall}$ до падения на землю. Оно определяется временем, за которое камень пройдет по вертикали расстояние $\text{h}$:

$h = \frac{g t_{fall}^2}{2}$

Отсюда выражаем время полета:

$t_{fall} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

В момент падения на землю вектор скорости камня будет иметь две составляющие: горизонтальную $v_{fx} = v_0$ и вертикальную $v_{fy}$:

$v_{fy} = g t_{fall} = g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}$

По условию, вектор конечной скорости направлен под углом $\alpha = 60°$ к горизонту. Тангенс этого угла равен отношению вертикальной составляющей скорости к горизонтальной:

$\tan(\alpha) = \frac{v_{fy}}{v_{fx}} = \frac{\sqrt{2gh}}{v_0}$

Из этого соотношения выразим искомую начальную скорость $v_0$:

$v_0 = \frac{\sqrt{2gh}}{\tan(\alpha)}$

Подставим числовые значения в формулу:

$v_0 = \frac{\sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м}}}{\tan(60°)} = \frac{\sqrt{98 \text{ м}^2/\text{с}^2}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение:

$v_0 \approx \frac{7 \cdot 1.414}{1.732} \approx \frac{9.898}{1.732} \approx 5.72 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость камня равна приблизительно 5.72 м/с.